Theorem rexabslelem 39645

Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexabslelem.1	|- F/ x ph
rexabslelem.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
rexabslelem	|- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y <-> ( E. w e. RR A. x e. A B <_ w /\ E. z e. RR A. x e. A z <_ B ) ) )

Distinct variable groups:   w, A, y, z   w, B, y, z   ph, w, y, z   x, w, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)

Proof of Theorem rexabslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) -> y e. RR )
2		rexabslelem.1	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
3		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x y e. RR
4		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ x A. x e. A ( abs ` B ) <_ y
5	2, 3, 4	nf3an 1831	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y )
6		rexabslelem.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
7	6	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
8	6	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
9	8	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) /\ x e. A ) -> B e. CC )
10	9	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
11	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
12	7	leabsd 14153	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) /\ x e. A ) -> B <_ ( abs ` B ) )
13		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A ( abs ` B ) <_ y /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) <_ y )
14	13	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) <_ y )
15	7, 10, 11, 12, 14	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) /\ x e. A ) -> B <_ y )
16	15	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) -> ( x e. A -> B <_ y ) )
17	5, 16	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) -> A. x e. A B <_ y )
18		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( B <_ w <-> B <_ y ) )
19	18	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( A. x e. A B <_ w <-> A. x e. A B <_ y ) )
20	19	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR /\ A. x e. A B <_ y ) -> E. w e. RR A. x e. A B <_ w )
21	1, 17, 20	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) -> E. w e. RR A. x e. A B <_ w )
22	1	renegcld 10457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) -> -u y e. RR )
23	6	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
24		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
25		absle 14055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( abs ` B ) <_ y <-> ( -u y <_ B /\ B <_ y ) ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` B ) <_ y <-> ( -u y <_ B /\ B <_ y ) ) )
27	26	3adantl3 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` B ) <_ y <-> ( -u y <_ B /\ B <_ y ) ) )
28	14, 27	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) /\ x e. A ) -> ( -u y <_ B /\ B <_ y ) )
29	28	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) /\ x e. A ) -> -u y <_ B )
30	29	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) -> ( x e. A -> -u y <_ B ) )
31	5, 30	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) -> A. x e. A -u y <_ B )
32		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = -u y -> ( z <_ B <-> -u y <_ B ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( z = -u y -> ( A. x e. A z <_ B <-> A. x e. A -u y <_ B ) )
34	33	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( -u y e. RR /\ A. x e. A -u y <_ B ) -> E. z e. RR A. x e. A z <_ B )
35	22, 31, 34	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) -> E. z e. RR A. x e. A z <_ B )
36	21, 35	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) -> ( E. w e. RR A. x e. A B <_ w /\ E. z e. RR A. x e. A z <_ B ) )
37	36	3exp 1264	. . 3 |- ( ph -> ( y e. RR -> ( A. x e. A ( abs ` B ) <_ y -> ( E. w e. RR A. x e. A B <_ w /\ E. z e. RR A. x e. A z <_ B ) ) ) )
38	37	rexlimdv 3030	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y -> ( E. w e. RR A. x e. A B <_ w /\ E. z e. RR A. x e. A z <_ B ) ) )
39		renegcl 10344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. RR -> -u z e. RR )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> -u z e. RR )
41		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> w e. RR )
42	40, 41	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> if ( w <_ -u z , -u z , w ) e. RR )
43	42	ad5ant24 1305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) -> if ( w <_ -u z , -u z , w ) e. RR )
44		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x w e. RR
45	2, 44	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ph /\ w e. RR )
46		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x A. x e. A B <_ w
47	45, 46	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w )
48		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x z e. RR
49	47, 48	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR )
50		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x A. x e. A z <_ B
51	49, 50	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B )
52	42	ad5ant23 1304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> if ( w <_ -u z , -u z , w ) e. RR )
53	52	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> -u if ( w <_ -u z , -u z , w ) e. RR )
54		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> z e. RR )
55	6	ad5ant15 1303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
56		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( w e. RR /\ -u z e. RR ) -> -u z <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) )
57	41, 40, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> -u z <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) )
58	40, 42	lenegd 10606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> ( -u z <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) <-> -u if ( w <_ -u z , -u z , w ) <_ -u -u z ) )
59	57, 58	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> -u if ( w <_ -u z , -u z , w ) <_ -u -u z )
60		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. RR -> z e. CC )
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> z e. CC )
62	61	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> -u -u z = z )
63	59, 62	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> -u if ( w <_ -u z , -u z , w ) <_ z )
64	63	ad5ant23 1304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> -u if ( w <_ -u z , -u z , w ) <_ z )
65		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. x e. A z <_ B /\ x e. A ) -> z <_ B )
66	65	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> z <_ B )
67	53, 54, 55, 64, 66	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> -u if ( w <_ -u z , -u z , w ) <_ B )
68	67	ad5ant1345 1316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> -u if ( w <_ -u z , -u z , w ) <_ B )
69	6	ad5ant15 1303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
70		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ x e. A ) -> w e. RR )
71	42	ad5ant24 1305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ x e. A ) -> if ( w <_ -u z , -u z , w ) e. RR )
72		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. x e. A B <_ w /\ x e. A ) -> B <_ w )
73	72	ad4ant24 1298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ x e. A ) -> B <_ w )
74		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w e. RR /\ -u z e. RR ) -> w <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) )
75	41, 40, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> w <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) )
76	75	ad5ant24 1305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ x e. A ) -> w <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) )
77	69, 70, 71, 73, 76	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ x e. A ) -> B <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) )
78	77	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> B <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) )
79	68, 78	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> ( -u if ( w <_ -u z , -u z , w ) <_ B /\ B <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) ) )
80	6	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
81	80	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ z e. RR /\ x e. A ) -> B e. RR )
82	42	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) -> if ( w <_ -u z , -u z , w ) e. RR )
83	82	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ z e. RR /\ x e. A ) -> if ( w <_ -u z , -u z , w ) e. RR )
84	81, 83	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ z e. RR /\ x e. A ) -> ( ( abs ` B ) <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) <-> ( -u if ( w <_ -u z , -u z , w ) <_ B /\ B <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) ) ) )
85	84	ad5ant135 1314	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` B ) <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) <-> ( -u if ( w <_ -u z , -u z , w ) <_ B /\ B <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) ) ) )
86	79, 85	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) )
87	86	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) -> ( x e. A -> ( abs ` B ) <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) ) )
88	51, 87	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) -> A. x e. A ( abs ` B ) <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) )
89		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = if ( w <_ -u z , -u z , w ) -> ( ( abs ` B ) <_ y <-> ( abs ` B ) <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) ) )
90	89	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = if ( w <_ -u z , -u z , w ) -> ( A. x e. A ( abs ` B ) <_ y <-> A. x e. A ( abs ` B ) <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) ) )
91	90	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( if ( w <_ -u z , -u z , w ) e. RR /\ A. x e. A ( abs ` B ) <_ if ( w <_ -u z , -u z , w ) ) -> E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y )
92	43, 88, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) /\ z e. RR ) /\ A. x e. A z <_ B ) -> E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y )
93	92	exp31 630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A B <_ w ) -> ( z e. RR -> ( A. x e. A z <_ B -> E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) ) )
94	93	exp31 630	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. RR -> ( A. x e. A B <_ w -> ( z e. RR -> ( A. x e. A z <_ B -> E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) ) ) ) )
95	94	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. w e. RR A. x e. A B <_ w -> ( z e. RR -> ( A. x e. A z <_ B -> E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) ) ) )
96	95	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. w e. RR A. x e. A B <_ w ) -> ( z e. RR -> ( A. x e. A z <_ B -> E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) ) )
97	96	rexlimdv 3030	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E. w e. RR A. x e. A B <_ w ) -> ( E. z e. RR A. x e. A z <_ B -> E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) )
98	97	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ E. w e. RR A. x e. A B <_ w ) /\ E. z e. RR A. x e. A z <_ B ) -> E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y )
99	98	anasss 679	. . 3 |- ( ( ph /\ ( E. w e. RR A. x e. A B <_ w /\ E. z e. RR A. x e. A z <_ B ) ) -> E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y )
100	99	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( ( E. w e. RR A. x e. A B <_ w /\ E. z e. RR A. x e. A z <_ B ) -> E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y ) )
101	38, 100	impbid 202	1 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y <-> ( E. w e. RR A. x e. A B <_ w /\ E. z e. RR A. x e. A z <_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   CCcc 9934   RRcr 9935   <_ cle 10075   -ucneg 10267   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  rexabsle  39646