Theorem rlimclim1 14276

Description: Forward direction of rlimclim 14277. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
rlimclim1.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
rlimclim1.3	|- ( ph -> F ~~> r A )
rlimclim1.4	|- ( ph -> Z C_ dom F )

Assertion

Ref	Expression
rlimclim1	|- ( ph -> F ~~> A )

Proof of Theorem rlimclim1

Dummy variables j k w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( F ` w ) e. _V
2	1	rgenw 2924	. . . . . 6 |- A. w e. dom F ( F ` w ) e. _V
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A. w e. dom F ( F ` w ) e. _V )
4		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
5		rlimclim1.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F ~~> r A )
6		rlimf 14232	. . . . . . . . 9 |- ( F ~~> r A -> F : dom F --> CC )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F : dom F --> CC )
9	8	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F = ( w e. dom F |-> ( F ` w ) ) )
10	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F ~~> r A )
11	9, 10	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( w e. dom F |-> ( F ` w ) ) ~~> r A )
12	3, 4, 11	rlimi 14244	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) )
13		rlimclim1.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M e. ZZ )
15		flcl 12596	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( |_ ` z ) e. ZZ )
16	15	peano2zd 11485	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. ZZ )
17	16	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. ZZ )
18	17, 14	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
19	14	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M e. RR )
20	17	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
21		max1 12016	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
23		eluz2 11693	. . . . . . 7 |- ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) )
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1246	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
25		rlimclim1.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
26	24, 25	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z )
27		rlimclim1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z C_ dom F )
28	27	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> Z C_ dom F )
29	25	uztrn2 11705	. . . . . . . . 9 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. Z )
30	26, 29	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. Z )
31	28, 30	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. dom F )
32		simplrr 801	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) )
33		simplrl 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z e. RR )
34	16	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
36	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> M e. RR )
37	35, 36	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. RR )
38		eluzelre 11698	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) -> k e. RR )
39	38	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. RR )
40		fllep1 12602	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> z <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) )
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) )
42		max2 12018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
43	36, 35, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
44	33, 35, 37, 41, 43	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
45		eluzle 11700	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) <_ k )
46	45	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) <_ k )
47	33, 37, 39, 44, 46	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ k )
48		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( z <_ w <-> z <_ k ) )
49		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
50	49	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) - A ) = ( ( F ` k ) - A ) )
51	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( w = k -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
52	51	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
53	48, 52	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) <-> ( z <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) ) )
54	53	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( k e. dom F -> ( A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) -> ( z <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) ) )
55	31, 32, 47, 54	syl3c 66	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
56	55	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
57		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( j = if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) )
58	57	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( j = if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y <-> A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
59	58	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
60	26, 56, 59	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
61	12, 60	rexlimddv 3035	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
62	61	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
63		rlimpm 14231	. . . 4 |- ( F ~~> r A -> F e. ( CC ^pm RR ) )
64	5, 63	syl 17	. . 3 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
65		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
66		rlimcl 14234	. . . 4 |- ( F ~~> r A -> A e. CC )
67	5, 66	syl 17	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
68	27	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. dom F )
69	7	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. dom F ) -> ( F ` k ) e. CC )
70	68, 69	syldan 487	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
71	25, 13, 64, 65, 67, 70	clim2c 14236	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
72	62, 71	mpbird 247	1 |- ( ph -> F ~~> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   |_cfl 12591   abscabs 13974   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  rlimclim  14277  dchrisumlema  25177