Theorem dchrisumlema 25177

Description: Lemma for dchrisum 25181. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrisum.2	|- ( n = x -> A = B )
dchrisum.3	|- ( ph -> M e. NN )
dchrisum.4	|- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
dchrisum.5	|- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
dchrisum.6	|- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
dchrisum.7	|- F = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. A ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisumlema	|- ( ph -> ( ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) /\ ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, .1.   n, F, x   n, I, x   x, A   n, N, x   ph, n, x   B, n   n, Z, x   D, n, x   n, L, x   n, M, x   n, X, x

Allowed substitution hints:   A( n)   B( x)   G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrisum.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
2	1	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. n e. RR+ A e. RR )
3		nfcsb1v 3549	. . . . 5 |- F/_ n [_ I / n ]_ A
4	3	nfel1 2779	. . . 4 |- F/ n [_ I / n ]_ A e. RR
5		csbeq1a 3542	. . . . 5 |- ( n = I -> A = [_ I / n ]_ A )
6	5	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( n = I -> ( A e. RR <-> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
7	4, 6	rspc 3303	. . 3 |- ( I e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
8	2, 7	syl5com 31	. 2 |- ( ph -> ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
9		eqid 2622	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
10		dchrisum.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
11	10	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
12		elicopnf 12269	. . . . . . . 8 |- ( M e. RR -> ( I e. ( M [,) +oo ) <-> ( I e. RR /\ M <_ I ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. ( M [,) +oo ) <-> ( I e. RR /\ M <_ I ) ) )
14	13	simprbda 653	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I e. RR )
15	14	flcld 12599	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( |_ ` I ) e. ZZ )
16	15	peano2zd 11485	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. ZZ )
17		nnuz 11723	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
18		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
19		dchrisum.6	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
20		nnrp 11842	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. RR+ )
21	20	ssriv 3607	. . . . . . 7 |- NN C_ RR+
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR+ |-> A ) = ( n e. RR+ |-> A )
23	22, 1	dmmptd 6024	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( n e. RR+ |-> A ) = RR+ )
24	21, 23	syl5sseqr 3654	. . . . . 6 |- ( ph -> NN C_ dom ( n e. RR+ |-> A ) )
25	17, 18, 19, 24	rlimclim1 14276	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> 0 )
26	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> 0 )
27		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
28	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> M e. RR )
29	10	nngt0d 11064	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < M )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 < M )
31	13	simplbda 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> M <_ I )
32	27, 28, 14, 30, 31	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 < I )
33	14, 32	elrpd 11869	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I e. RR+ )
34	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> A. n e. RR+ A e. RR )
35	33, 34, 7	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> [_ I / n ]_ A e. RR )
36	35	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> [_ I / n ]_ A e. CC )
37		ssid 3624	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
38		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) e. _V
39	37, 38	climconst2 14279	. . . . 5 |- ( ( [_ I / n ]_ A e. CC /\ ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ~~> [_ I / n ]_ A )
40	36, 16, 39	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ~~> [_ I / n ]_ A )
41	33	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 <_ I )
42		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. RR /\ 0 <_ I ) -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
43	14, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
44		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` I ) e. NN0 -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN )
46		eluznn 11758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. NN )
47	45, 46	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. NN )
48	47	nnrpd 11870	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. RR+ )
49	2	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. n e. RR+ A e. RR )
50		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ n [_ i / n ]_ A
51	50	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ n [_ i / n ]_ A e. RR
52		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> A = [_ i / n ]_ A )
53	52	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( A e. RR <-> [_ i / n ]_ A e. RR ) )
54	51, 53	rspc 3303	. . . . . . 7 |- ( i e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ i / n ]_ A e. RR ) )
55	48, 49, 54	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ i / n ]_ A e. RR )
56	22	fvmpts 6285	. . . . . 6 |- ( ( i e. RR+ /\ [_ i / n ]_ A e. RR ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) = [_ i / n ]_ A )
57	48, 55, 56	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) = [_ i / n ]_ A )
58	57, 55	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) e. RR )
59		fvconst2g 6467	. . . . . 6 |- ( ( [_ I / n ]_ A e. RR /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) = [_ I / n ]_ A )
60	35, 59	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) = [_ I / n ]_ A )
61	35	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ I / n ]_ A e. RR )
62	60, 61	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) e. RR )
63	33	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I e. RR+ )
64		dchrisum.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
65	64	3expia 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
66	65	ralrimivva 2971	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
67	66	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
68		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n RR+
69		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( M <_ I /\ I <_ x )
70		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n B
71		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n <_
72	70, 71, 3	nfbr 4699	. . . . . . . . . 10 |- F/ n B <_ [_ I / n ]_ A
73	69, 72	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A )
74	68, 73	nfral 2945	. . . . . . . 8 |- F/ n A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A )
75		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = I -> ( M <_ n <-> M <_ I ) )
76		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = I -> ( n <_ x <-> I <_ x ) )
77	75, 76	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( n = I -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) <-> ( M <_ I /\ I <_ x ) ) )
78	5	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( n = I -> ( B <_ A <-> B <_ [_ I / n ]_ A ) )
79	77, 78	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( n = I -> ( ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
80	79	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( n = I -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
81	74, 80	rspc 3303	. . . . . . 7 |- ( I e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
82	63, 67, 81	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) )
83	31	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> M <_ I )
84	14	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I e. RR )
85		reflcl 12597	. . . . . . . . 9 |- ( I e. RR -> ( |_ ` I ) e. RR )
86		peano2re 10209	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` I ) e. RR -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. RR )
87	84, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. RR )
88	47	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. RR )
89		fllep1 12602	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
90	14, 89	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
92		eluzle 11700	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) <_ i )
93	92	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) <_ i )
94	84, 87, 88, 91, 93	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I <_ i )
95	83, 94	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( M <_ I /\ I <_ i ) )
96		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( x = i -> ( I <_ x <-> I <_ i ) )
97	96	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( x = i -> ( ( M <_ I /\ I <_ x ) <-> ( M <_ I /\ I <_ i ) ) )
98		eqvisset 3211	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> i e. _V )
99		equtr2 1954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = i /\ n = i ) -> x = n )
100		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = x -> A = B )
101	100	equcoms 1947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = n -> A = B )
102	99, 101	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = i /\ n = i ) -> A = B )
103	98, 102	csbied 3560	. . . . . . . . . 10 |- ( x = i -> [_ i / n ]_ A = B )
104	103	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( x = i -> B = [_ i / n ]_ A )
105	104	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( x = i -> ( B <_ [_ I / n ]_ A <-> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) )
106	97, 105	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) <-> ( ( M <_ I /\ I <_ i ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
107	106	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( i e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) -> ( ( M <_ I /\ I <_ i ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
108	48, 82, 95, 107	syl3c 66	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A )
109	108, 57, 60	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) <_ ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) )
110	9, 16, 26, 40, 58, 62, 109	climle 14370	. . 3 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A )
111	110	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) )
112	8, 111	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) /\ ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   |_cfl 12591   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  25179  dchrisumlem3  25180