Theorem rpnnen2lem1 14943

Description: Lemma for rpnnen2 14955. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	|- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem1	|- ( ( A C_ NN /\ N e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` N ) = if ( N e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ N ) , 0 ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   n, N

Allowed substitution hints:   F( x, n)   N( x)

Proof of Theorem rpnnen2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
2	1	elpw2 4828	. . . 4 |- ( A e. ~P NN <-> A C_ NN )
3		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( n e. x <-> n e. A ) )
4	3	ifbid 4108	. . . . . 6 |- ( x = A -> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) = if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) )
5	4	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( x = A -> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
6		rpnnen2.1	. . . . 5 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
7	1	mptex 6486	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) e. _V
8	5, 6, 7	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( A e. ~P NN -> ( F ` A ) = ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
9	2, 8	sylbir 225	. . 3 |- ( A C_ NN -> ( F ` A ) = ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
10	9	fveq1d 6193	. 2 |- ( A C_ NN -> ( ( F ` A ) ` N ) = ( ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) ` N ) )
11		eleq1 2689	. . . 4 |- ( n = N -> ( n e. A <-> N e. A ) )
12		oveq2 6658	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( 1 / 3 ) ^ n ) = ( ( 1 / 3 ) ^ N ) )
13	11, 12	ifbieq1d 4109	. . 3 |- ( n = N -> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) = if ( N e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ N ) , 0 ) )
14		eqid 2622	. . 3 |- ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) )
15		ovex 6678	. . . 4 |- ( ( 1 / 3 ) ^ N ) e. _V
16		c0ex 10034	. . . 4 |- 0 e. _V
17	15, 16	ifex 4156	. . 3 |- if ( N e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ N ) , 0 ) e. _V
18	13, 14, 17	fvmpt 6282	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) ` N ) = if ( N e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ N ) , 0 ) )
19	10, 18	sylan9eq 2676	1 |- ( ( A C_ NN /\ N e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` N ) = if ( N e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ N ) , 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem3  14945  rpnnen2lem4  14946  rpnnen2lem9  14951  rpnnen2lem10  14952  rpnnen2lem11  14953