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Theorem rpnnen2lem11 14953
Description: Lemma for rpnnen2 14955. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
rpnnen2.2 |- ( ph -> A C_ NN )
rpnnen2.3 |- ( ph -> B C_ NN )
rpnnen2.4 |- ( ph -> m e. ( A \ B ) )
rpnnen2.5 |- ( ph -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) )
rpnnen2.6 |- ( ps <-> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem11 |- ( ph -> -. ps )
Distinct variable groups:   m, n, x, k   A, k, n, x   B, k, n, x   k, m, F   ph, k
Allowed substitution hints:   ph( x, m, n)   ps( x, k, m, n)   A( m)   B( m)   F( x, n)
Proof of Theorem rpnnen2lem11
StepHypRef Expression
1 rpnnen2.3 . . . 4 |- ( ph -> B C_ NN )
2 rpnnen2.2 . . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN )
3 rpnnen2.4 . . . . 5 |- ( ph -> m e. ( A \ B ) )
4 eldifi 3732 . . . . . 6 |- ( m e. ( A \ B ) -> m e. A )
5 ssel2 3598 . . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ m e. A ) -> m e. NN )
64, 5sylan2 491 . . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ m e. ( A \ B ) ) -> m e. NN )
72, 3, 6syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> m e. NN )
8 rpnnen2.1 . . . . 5 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
98rpnnen2lem6 14948 . . . 4 |- ( ( B C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
101, 7, 9syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
11 3nn 11186 . . . . . 6 |- 3 e. NN
12 nnrecre 11057 . . . . . 6 |- ( 3 e. NN -> ( 1 / 3 ) e. RR )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 |- ( 1 / 3 ) e. RR
147nnnn0d 11351 . . . . 5 |- ( ph -> m e. NN0 )
15 reexpcl 12877 . . . . 5 |- ( ( ( 1 / 3 ) e. RR /\ m e. NN0 ) -> ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. RR )
1613, 14, 15sylancr 695 . . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. RR )
178rpnnen2lem6 14948 . . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
182, 7, 17syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
19 nnrp 11842 . . . . . . . . 9 |- ( 3 e. NN -> 3 e. RR+ )
20 rpreccl 11857 . . . . . . . . 9 |- ( 3 e. RR+ -> ( 1 / 3 ) e. RR+ )
2111, 19, 20mp2b 10 . . . . . . . 8 |- ( 1 / 3 ) e. RR+
227nnzd 11481 . . . . . . . 8 |- ( ph -> m e. ZZ )
23 rpexpcl 12879 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 3 ) e. RR+ /\ m e. ZZ ) -> ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. RR+ )
2421, 22, 23sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. RR+ )
2524rpred 11872 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. RR )
2625rehalfcld 11279 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) e. RR )
273snssd 4340 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> { m } C_ ( A \ B ) )
282ssdifd 3746 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A \ B ) C_ ( NN \ B ) )
2927, 28sstrd 3613 . . . . . . . 8 |- ( ph -> { m } C_ ( NN \ B ) )
307snssd 4340 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> { m } C_ NN )
31 ssconb 3743 . . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ NN /\ { m } C_ NN ) -> ( B C_ ( NN \ { m } ) <-> { m } C_ ( NN \ B ) ) )
321, 30, 31syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B C_ ( NN \ { m } ) <-> { m } C_ ( NN \ B ) ) )
3329, 32mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ ( NN \ { m } ) )
34 difssd 3738 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( NN \ { m } ) C_ NN )
358rpnnen2lem7 14949 . . . . . . 7 |- ( ( B C_ ( NN \ { m } ) /\ ( NN \ { m } ) C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` ( NN \ { m } ) ) ` k ) )
3633, 34, 7, 35syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` ( NN \ { m } ) ) ` k ) )
378rpnnen2lem9 14951 . . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` ( NN \ { m } ) ) ` k ) = ( 0 + ( ( ( 1 / 3 ) ^ ( m + 1 ) ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) ) )
387, 37syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` ( NN \ { m } ) ) ` k ) = ( 0 + ( ( ( 1 / 3 ) ^ ( m + 1 ) ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) ) )
3913recni 10052 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 3 ) e. CC
40 expp1 12867 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / 3 ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( 1 / 3 ) ^ ( m + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) x. ( 1 / 3 ) ) )
4139, 14, 40sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 / 3 ) ^ ( m + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) x. ( 1 / 3 ) ) )
4225recnd 10068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. CC )
43 3cn 11095 . . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. CC
44 3ne0 11115 . . . . . . . . . . . . 13 |- 3 =/= 0
45 divrec 10701 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 3 ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) x. ( 1 / 3 ) ) )
4643, 44, 45mp3an23 1416 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. CC -> ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 3 ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) x. ( 1 / 3 ) ) )
4742, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 3 ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) x. ( 1 / 3 ) ) )
4841, 47eqtr4d 2659 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 3 ) ^ ( m + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 3 ) )
4948oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 3 ) ^ ( m + 1 ) ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 3 ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) )
50 ax-1cn 9994 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
5143, 44pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 )
52 divsubdir 10721 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 3 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) ) -> ( ( 3 - 1 ) / 3 ) = ( ( 3 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) )
5343, 50, 51, 52mp3an 1424 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 3 - 1 ) / 3 ) = ( ( 3 / 3 ) - ( 1 / 3 ) )
54 3m1e2 11137 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 - 1 ) = 2
5554oveq1i 6660 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 3 - 1 ) / 3 ) = ( 2 / 3 )
5643, 44dividi 10758 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 / 3 ) = 1
5756oveq1i 6660 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 3 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) = ( 1 - ( 1 / 3 ) )
5853, 55, 573eqtr3ri 2653 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - ( 1 / 3 ) ) = ( 2 / 3 )
5958oveq2i 6661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 3 ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 3 ) / ( 2 / 3 ) )
60 2cnne0 11242 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
61 divcan7 10734 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 3 ) / ( 2 / 3 ) ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) )
6260, 51, 61mp3an23 1416 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. CC -> ( ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 3 ) / ( 2 / 3 ) ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) )
6342, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 3 ) / ( 2 / 3 ) ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) )
6459, 63syl5eq 2668 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 3 ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) )
6549, 64eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 3 ) ^ ( m + 1 ) ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) )
6665oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 + ( ( ( 1 / 3 ) ^ ( m + 1 ) ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( 0 + ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) ) )
6726recnd 10068 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) e. CC )
6867addid2d 10237 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 + ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) )
6938, 66, 683eqtrd 2660 . . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` ( NN \ { m } ) ) ` k ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) )
7036, 69breqtrd 4679 . . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) <_ ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) )
71 rphalflt 11860 . . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. RR+ -> ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) < ( ( 1 / 3 ) ^ m ) )
7224, 71syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 3 ) ^ m ) / 2 ) < ( ( 1 / 3 ) ^ m ) )
7310, 26, 25, 70, 72lelttrd 10195 . . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) < ( ( 1 / 3 ) ^ m ) )
74 eluznn 11758 . . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> k e. NN )
757, 74sylan 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> k e. NN )
768rpnnen2lem1 14943 . . . . . . . . 9 |- ( ( { m } C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` { m } ) ` k ) = if ( k e. { m } , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
7730, 76sylan 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` { m } ) ` k ) = if ( k e. { m } , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
7875, 77syldan 487 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( F ` { m } ) ` k ) = if ( k e. { m } , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
7978sumeq2dv 14433 . . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` { m } ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) if ( k e. { m } , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
80 uzid 11702 . . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> m e. ( ZZ>= ` m ) )
8122, 80syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> m e. ( ZZ>= ` m ) )
8281snssd 4340 . . . . . . 7 |- ( ph -> { m } C_ ( ZZ>= ` m ) )
83 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- m e. _V
84 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( ( 1 / 3 ) ^ k ) = ( ( 1 / 3 ) ^ m ) )
8584eleq1d 2686 . . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( ( ( 1 / 3 ) ^ k ) e. CC <-> ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. CC ) )
8683, 85ralsn 4222 . . . . . . . 8 |- ( A. k e. { m } ( ( 1 / 3 ) ^ k ) e. CC <-> ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. CC )
8742, 86sylibr 224 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. { m } ( ( 1 / 3 ) ^ k ) e. CC )
88 ssid 3624 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` m ) C_ ( ZZ>= ` m )
8988a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` m ) C_ ( ZZ>= ` m ) )
9089orcd 407 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ZZ>= ` m ) C_ ( ZZ>= ` m ) \/ ( ZZ>= ` m ) e. Fin ) )
91 sumss2 14457 . . . . . . 7 |- ( ( ( { m } C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. k e. { m } ( ( 1 / 3 ) ^ k ) e. CC ) /\ ( ( ZZ>= ` m ) C_ ( ZZ>= ` m ) \/ ( ZZ>= ` m ) e. Fin ) ) -> sum_ k e. { m } ( ( 1 / 3 ) ^ k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) if ( k e. { m } , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
9282, 87, 90, 91syl21anc 1325 . . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. { m } ( ( 1 / 3 ) ^ k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) if ( k e. { m } , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
9384sumsn 14475 . . . . . . 7 |- ( ( m e. NN /\ ( ( 1 / 3 ) ^ m ) e. CC ) -> sum_ k e. { m } ( ( 1 / 3 ) ^ k ) = ( ( 1 / 3 ) ^ m ) )
947, 42, 93syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. { m } ( ( 1 / 3 ) ^ k ) = ( ( 1 / 3 ) ^ m ) )
9579, 92, 943eqtr2d 2662 . . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` { m } ) ` k ) = ( ( 1 / 3 ) ^ m ) )
963, 4syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> m e. A )
9796snssd 4340 . . . . . 6 |- ( ph -> { m } C_ A )
988rpnnen2lem7 14949 . . . . . 6 |- ( ( { m } C_ A /\ A C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` { m } ) ` k ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) )
9997, 2, 7, 98syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` { m } ) ` k ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) )
10095, 99eqbrtrrd 4677 . . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 3 ) ^ m ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) )
10110, 16, 18, 73, 100ltletrd 10197 . . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) < sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) )
10210, 101gtned 10172 . 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) =/= sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) )
103 rpnnen2.5 . . . . 5 |- ( ph -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) )
104 rpnnen2.6 . . . . 5 |- ( ps <-> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )
1058, 2, 1, 3, 103, 104rpnnen2lem10 14952 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) )
106105ex 450 . . 3 |- ( ph -> ( ps -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
107106necon3ad 2807 . 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) =/= sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) -> -. ps ) )
108102, 107mpd 15 1 |- ( ph -> -. ps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ^cexp 12860   sum_csu 14416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem12  14954
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