Theorem qnnen 14942

Description: The rational numbers are countable. This proof does not use the Axiom of Choice, even though it uses an onto function, because the base set ( ZZ X. NN ) is numerable. Exercise 2 of [Enderton] p. 133. For purposes of the Metamath 100 list, we are considering Mario Carneiro's revision as the date this proof was completed. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	|- QQ ~~ NN

Proof of Theorem qnnen

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 8543	. . . . . . 7 |- om e. On
2		nnenom 12779	. . . . . . . 8 |- NN ~~ om
3	2	ensymi 8006	. . . . . . 7 |- om ~~ NN
4		isnumi 8772	. . . . . . 7 |- ( ( om e. On /\ om ~~ NN ) -> NN e. dom card )
5	1, 3, 4	mp2an 708	. . . . . 6 |- NN e. dom card
6		znnen 14941	. . . . . . 7 |- ZZ ~~ NN
7		ennum 8773	. . . . . . 7 |- ( ZZ ~~ NN -> ( ZZ e. dom card <-> NN e. dom card ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ZZ e. dom card <-> NN e. dom card )
9	5, 8	mpbir 221	. . . . 5 |- ZZ e. dom card
10		xpnum 8777	. . . . 5 |- ( ( ZZ e. dom card /\ NN e. dom card ) -> ( ZZ X. NN ) e. dom card )
11	9, 5, 10	mp2an 708	. . . 4 |- ( ZZ X. NN ) e. dom card
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ , y e. NN |-> ( x / y ) ) = ( x e. ZZ , y e. NN |-> ( x / y ) )
13		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( x / y ) e. _V
14	12, 13	fnmpt2i 7239	. . . . 5 |- ( x e. ZZ , y e. NN |-> ( x / y ) ) Fn ( ZZ X. NN )
15	12	rnmpt2 6770	. . . . . 6 |- ran ( x e. ZZ , y e. NN |-> ( x / y ) ) = { z | E. x e. ZZ E. y e. NN z = ( x / y ) }
16		elq 11790	. . . . . . 7 |- ( z e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN z = ( x / y ) )
17	16	abbi2i 2738	. . . . . 6 |- QQ = { z | E. x e. ZZ E. y e. NN z = ( x / y ) }
18	15, 17	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- ran ( x e. ZZ , y e. NN |-> ( x / y ) ) = QQ
19		df-fo 5894	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ , y e. NN |-> ( x / y ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ <-> ( ( x e. ZZ , y e. NN |-> ( x / y ) ) Fn ( ZZ X. NN ) /\ ran ( x e. ZZ , y e. NN |-> ( x / y ) ) = QQ ) )
20	14, 18, 19	mpbir2an 955	. . . 4 |- ( x e. ZZ , y e. NN |-> ( x / y ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ
21		fodomnum 8880	. . . 4 |- ( ( ZZ X. NN ) e. dom card -> ( ( x e. ZZ , y e. NN |-> ( x / y ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ -> QQ ~<_ ( ZZ X. NN ) ) )
22	11, 20, 21	mp2 9	. . 3 |- QQ ~<_ ( ZZ X. NN )
23		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
24	23	enref 7988	. . . . 5 |- NN ~~ NN
25		xpen 8123	. . . . 5 |- ( ( ZZ ~~ NN /\ NN ~~ NN ) -> ( ZZ X. NN ) ~~ ( NN X. NN ) )
26	6, 24, 25	mp2an 708	. . . 4 |- ( ZZ X. NN ) ~~ ( NN X. NN )
27		xpnnen 14939	. . . 4 |- ( NN X. NN ) ~~ NN
28	26, 27	entri 8010	. . 3 |- ( ZZ X. NN ) ~~ NN
29		domentr 8015	. . 3 |- ( ( QQ ~<_ ( ZZ X. NN ) /\ ( ZZ X. NN ) ~~ NN ) -> QQ ~<_ NN )
30	22, 28, 29	mp2an 708	. 2 |- QQ ~<_ NN
31		qex 11800	. . 3 |- QQ e. _V
32		nnssq 11797	. . 3 |- NN C_ QQ
33		ssdomg 8001	. . 3 |- ( QQ e. _V -> ( NN C_ QQ -> NN ~<_ QQ ) )
34	31, 32, 33	mp2 9	. 2 |- NN ~<_ QQ
35		sbth 8080	. 2 |- ( ( QQ ~<_ NN /\ NN ~<_ QQ ) -> QQ ~~ NN )
36	30, 34, 35	mp2an 708	1 |- QQ ~~ NN

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   cardccrd 8761   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   QQcq 11788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789

This theorem is referenced by:  rpnnen  14956  resdomq  14973  re2ndc  22604  ovolq  23259  opnmblALT  23371  vitali  23382  mbfimaopnlem  23422  mbfaddlem  23427  mblfinlem1  33446  irrapx1  37392  qenom  39577