Theorem rpnnen2lem10 14952

Description: Lemma for rpnnen2 14955. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	|- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
rpnnen2.2	|- ( ph -> A C_ NN )
rpnnen2.3	|- ( ph -> B C_ NN )
rpnnen2.4	|- ( ph -> m e. ( A \ B ) )
rpnnen2.5	|- ( ph -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) )
rpnnen2.6	|- ( ps <-> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem10	|- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) )

Distinct variable groups:   m, n, x, k   A, k, n, x   B, k, n, x   k, m, F   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, m, n)   ps( x, k, m, n)   A( m)   B( m)   F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
2		rpnnen2.6	. . . 4 |- ( ps <-> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )
3	1, 2	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) )
4		rpnnen2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ NN )
5		rpnnen2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> m e. ( A \ B ) )
6		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( A \ B ) -> m e. A )
7		ssel2 3598	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ NN /\ m e. A ) -> m e. NN )
8	6, 7	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ NN /\ m e. ( A \ B ) ) -> m e. NN )
9	4, 5, 8	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> m e. NN )
10		rpnnen2.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
11	10	rpnnen2lem8 14950	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
12	4, 9, 11	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
13		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
14		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
15		elfzm11 12411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) ) )
16	13, 14, 15	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) ) )
17	16	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) )
18	9, 17	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k /\ k < m ) )
19	18	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> k < m )
20		rpnnen2.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) )
21		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) -> k e. NN )
22		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( n < m <-> k < m ) )
23		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( n e. A <-> k e. A ) )
24		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( n e. B <-> k e. B ) )
25	23, 24	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( n e. A <-> n e. B ) <-> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
26	22, 25	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) <-> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) ) )
27	26	rspccva 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( n < m -> ( n e. A <-> n e. B ) ) /\ k e. NN ) -> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
28	20, 21, 27	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k < m -> ( k e. A <-> k e. B ) ) )
29	19, 28	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k e. A <-> k e. B ) )
30	29	ifbid 4108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
31	10	rpnnen2lem1 14943	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
32	4, 21, 31	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
33		rpnnen2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ NN )
34	10	rpnnen2lem1 14943	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` B ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
35	33, 21, 34	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` B ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
36	30, 32, 35	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = ( ( F ` B ) ` k ) )
37	36	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) )
38	37	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
39	12, 38	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
40	39	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` A ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) )
41	10	rpnnen2lem8 14950	. . . . 5 |- ( ( B C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
42	33, 9, 41	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
43	42	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( ( F ` B ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
44	3, 40, 43	3eqtr3d 2664	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
45	10	rpnnen2lem6 14948	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
46	4, 9, 45	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
47	10	rpnnen2lem6 14948	. . . . 5 |- ( ( B C_ NN /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
48	33, 9, 47	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
49		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( m - 1 ) ) e. Fin )
50	10	rpnnen2lem2 14944	. . . . . . 7 |- ( B C_ NN -> ( F ` B ) : NN --> RR )
51	33, 50	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` B ) : NN --> RR )
52		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` B ) : NN --> RR /\ k e. NN ) -> ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
53	51, 21, 52	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
54	49, 53	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
55		readdcan 10210	. . . 4 |- ( ( sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) e. RR /\ sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR /\ sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) e. RR ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
56	46, 48, 54, 55	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
57	56	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( m - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) ) )
58	44, 57	mpbid 222	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` A ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` B ) ` k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  14953