Theorem rpnnen2lem2 14944

Description: Lemma for rpnnen2 14955. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	|- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem2	|- ( A C_ NN -> ( F ` A ) : NN --> RR )

Distinct variable group:   x, n, A

Allowed substitution hints:   F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
2		3nn 11186	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
3		nndivre 11056	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( 1 / 3 ) e. RR )
4	1, 2, 3	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( 1 / 3 ) e. RR
5		nnnn0 11299	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
6		reexpcl 12877	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 3 ) e. RR /\ n e. NN0 ) -> ( ( 1 / 3 ) ^ n ) e. RR )
7	4, 5, 6	sylancr 695	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( ( 1 / 3 ) ^ n ) e. RR )
8		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
9		ifcl 4130	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1 / 3 ) ^ n ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) e. RR )
10	7, 8, 9	sylancl 694	. . . 4 |- ( n e. NN -> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) e. RR )
11	10	adantl 482	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ n e. NN ) -> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) e. RR )
12		eqid 2622	. . 3 |- ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) )
13	11, 12	fmptd 6385	. 2 |- ( A C_ NN -> ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) : NN --> RR )
14		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
15	14	elpw2 4828	. . . 4 |- ( A e. ~P NN <-> A C_ NN )
16		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( n e. x <-> n e. A ) )
17	16	ifbid 4108	. . . . . 6 |- ( x = A -> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) = if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) )
18	17	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( x = A -> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
19		rpnnen2.1	. . . . 5 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
20	14	mptex 6486	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) e. _V
21	18, 19, 20	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( A e. ~P NN -> ( F ` A ) = ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
22	15, 21	sylbir 225	. . 3 |- ( A C_ NN -> ( F ` A ) = ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
23	22	feq1d 6030	. 2 |- ( A C_ NN -> ( ( F ` A ) : NN --> RR <-> ( n e. NN |-> if ( n e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) : NN --> RR ) )
24	13, 23	mpbird 247	1 |- ( A C_ NN -> ( F ` A ) : NN --> RR )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   NN0cn0 11292   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  14947  rpnnen2lem6  14948  rpnnen2lem7  14949  rpnnen2lem8  14950  rpnnen2lem9  14951  rpnnen2lem10  14952  rpnnen2lem12  14954