Theorem s3iunsndisj 13707

Description: The union of singletons consisting of length 3 strings which have distinct first and third symbols are disjunct. (Contributed by AV, 17-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
s3iunsndisj	|- ( B e. X -> Disj a e. Y U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } )

Distinct variable groups:   B, c   X, c   Y, c   Z, c   B, a, c   X, a   Y, a   Z, a

Proof of Theorem s3iunsndisj

Dummy variables d e s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 400	. . . . 5 |- ( a = d -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } i^i U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } ) = (/) ) )
2	1	a1d 25	. . . 4 |- ( a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } i^i U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } ) = (/) ) ) )
3		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } <-> E. c e. ( Z \ { a } ) s e. { <" a B c "> } )
4		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. { <" a B c "> } <-> s = <" a B c "> )
5		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( s = <" a B c "> -> ( s = <" d B e "> <-> <" a B c "> = <" d B e "> ) )
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) /\ ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) ) /\ s = <" a B c "> ) -> ( s = <" d B e "> <-> <" a B c "> = <" d B e "> ) )
7		s3cli 13626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- <" a B c "> e. Word _V
8		elex 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( B e. X -> B e. _V )
9		elex 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( d e. Y -> d e. _V )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( a e. Y /\ d e. Y ) -> d e. _V )
11	8, 10	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) -> ( d e. _V /\ B e. _V ) )
12		elex 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( e e. ( Z \ { d } ) -> e e. _V )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) -> e e. _V )
14	11, 13	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) /\ ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) ) -> ( ( d e. _V /\ B e. _V ) /\ e e. _V ) )
15		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( d e. _V /\ B e. _V /\ e e. _V ) <-> ( ( d e. _V /\ B e. _V ) /\ e e. _V ) )
16	14, 15	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) /\ ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) ) -> ( d e. _V /\ B e. _V /\ e e. _V ) )
17		eqwrds3 13704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( <" a B c "> e. Word _V /\ ( d e. _V /\ B e. _V /\ e e. _V ) ) -> ( <" a B c "> = <" d B e "> <-> ( ( # ` <" a B c "> ) = 3 /\ ( ( <" a B c "> ` 0 ) = d /\ ( <" a B c "> ` 1 ) = B /\ ( <" a B c "> ` 2 ) = e ) ) ) )
18	7, 16, 17	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) /\ ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) ) -> ( <" a B c "> = <" d B e "> <-> ( ( # ` <" a B c "> ) = 3 /\ ( ( <" a B c "> ` 0 ) = d /\ ( <" a B c "> ` 1 ) = B /\ ( <" a B c "> ` 2 ) = e ) ) ) )
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- a e. _V
20		s3fv0 13636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( a e. _V -> ( <" a B c "> ` 0 ) = a )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( <" a B c "> ` 0 ) = a
22		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( <" a B c "> ` 0 ) = d /\ ( <" a B c "> ` 1 ) = B /\ ( <" a B c "> ` 2 ) = e ) -> ( <" a B c "> ` 0 ) = d )
23	21, 22	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( <" a B c "> ` 0 ) = d /\ ( <" a B c "> ` 1 ) = B /\ ( <" a B c "> ` 2 ) = e ) -> a = d )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( # ` <" a B c "> ) = 3 /\ ( ( <" a B c "> ` 0 ) = d /\ ( <" a B c "> ` 1 ) = B /\ ( <" a B c "> ` 2 ) = e ) ) -> a = d )
25	18, 24	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) /\ ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) ) -> ( <" a B c "> = <" d B e "> -> a = d ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) /\ ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) ) /\ s = <" a B c "> ) -> ( <" a B c "> = <" d B e "> -> a = d ) )
27	6, 26	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) /\ ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) ) /\ s = <" a B c "> ) -> ( s = <" d B e "> -> a = d ) )
28	27	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( s = <" a B c "> /\ ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) /\ ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) ) ) -> ( s = <" d B e "> -> a = d ) )
29	28	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( s = <" a B c "> /\ ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) /\ ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) ) ) -> ( -. a = d -> -. s = <" d B e "> ) )
30	29	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s = <" a B c "> -> ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) -> ( ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) -> ( -. a = d -> -. s = <" d B e "> ) ) ) )
31	30	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) -> ( ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) -> ( s = <" a B c "> -> -. s = <" d B e "> ) ) ) )
32	31	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) -> ( ( c e. ( Z \ { a } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) -> ( s = <" a B c "> -> -. s = <" d B e "> ) ) )
33	32	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) -> ( c e. ( Z \ { a } ) -> ( e e. ( Z \ { d } ) -> ( s = <" a B c "> -> -. s = <" d B e "> ) ) ) )
34	33	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) -> ( c e. ( Z \ { a } ) -> ( s = <" a B c "> -> ( e e. ( Z \ { d } ) -> -. s = <" d B e "> ) ) ) )
35	34	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) /\ c e. ( Z \ { a } ) ) -> ( s = <" a B c "> -> ( e e. ( Z \ { d } ) -> -. s = <" d B e "> ) ) )
36	4, 35	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) /\ c e. ( Z \ { a } ) ) -> ( s e. { <" a B c "> } -> ( e e. ( Z \ { d } ) -> -. s = <" d B e "> ) ) )
37	36	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) /\ c e. ( Z \ { a } ) ) /\ s e. { <" a B c "> } ) -> ( e e. ( Z \ { d } ) -> -. s = <" d B e "> ) )
38	37	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) /\ c e. ( Z \ { a } ) ) /\ s e. { <" a B c "> } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) -> -. s = <" d B e "> )
39		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. { <" d B e "> } <-> s = <" d B e "> )
40	38, 39	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) /\ c e. ( Z \ { a } ) ) /\ s e. { <" a B c "> } ) /\ e e. ( Z \ { d } ) ) -> -. s e. { <" d B e "> } )
41	40	nrexdv 3001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) /\ c e. ( Z \ { a } ) ) /\ s e. { <" a B c "> } ) -> -. E. e e. ( Z \ { d } ) s e. { <" d B e "> } )
42		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. U_ e e. ( Z \ { d } ) { <" d B e "> } <-> E. e e. ( Z \ { d } ) s e. { <" d B e "> } )
43	41, 42	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) /\ c e. ( Z \ { a } ) ) /\ s e. { <" a B c "> } ) -> -. s e. U_ e e. ( Z \ { d } ) { <" d B e "> } )
44	43	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) /\ c e. ( Z \ { a } ) ) -> ( s e. { <" a B c "> } -> -. s e. U_ e e. ( Z \ { d } ) { <" d B e "> } ) )
45	44	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) -> ( E. c e. ( Z \ { a } ) s e. { <" a B c "> } -> -. s e. U_ e e. ( Z \ { d } ) { <" d B e "> } ) )
46	3, 45	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) -> ( s e. U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } -> -. s e. U_ e e. ( Z \ { d } ) { <" d B e "> } ) )
47	46	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) -> A. s e. U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } -. s e. U_ e e. ( Z \ { d } ) { <" d B e "> } )
48		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = e -> d = d )
49		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = e -> B = B )
50		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = e -> c = e )
51	48, 49, 50	s3eqd 13609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = e -> <" d B c "> = <" d B e "> )
52	51	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = e -> { <" d B c "> } = { <" d B e "> } )
53	52	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . 11 |- U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } = U_ e e. ( Z \ { d } ) { <" d B e "> }
54	53	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } <-> s e. U_ e e. ( Z \ { d } ) { <" d B e "> } )
55	54	notbii 310	. . . . . . . . 9 |- ( -. s e. U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } <-> -. s e. U_ e e. ( Z \ { d } ) { <" d B e "> } )
56	55	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. s e. U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } -. s e. U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } <-> A. s e. U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } -. s e. U_ e e. ( Z \ { d } ) { <" d B e "> } )
57	47, 56	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) -> A. s e. U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } -. s e. U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } )
58		disj 4017	. . . . . . 7 |- ( ( U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } i^i U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } ) = (/) <-> A. s e. U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } -. s e. U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } )
59	57, 58	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) -> ( U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } i^i U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } ) = (/) )
60	59	olcd 408	. . . . 5 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } i^i U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } ) = (/) ) )
61	60	ex 450	. . . 4 |- ( -. a = d -> ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } i^i U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } ) = (/) ) ) )
62	2, 61	pm2.61i 176	. . 3 |- ( ( B e. X /\ ( a e. Y /\ d e. Y ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } i^i U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } ) = (/) ) )
63	62	ralrimivva 2971	. 2 |- ( B e. X -> A. a e. Y A. d e. Y ( a = d \/ ( U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } i^i U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } ) = (/) ) )
64		sneq 4187	. . . . 5 |- ( a = d -> { a } = { d } )
65	64	difeq2d 3728	. . . 4 |- ( a = d -> ( Z \ { a } ) = ( Z \ { d } ) )
66		id 22	. . . . . 6 |- ( a = d -> a = d )
67		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( a = d -> B = B )
68		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( a = d -> c = c )
69	66, 67, 68	s3eqd 13609	. . . . 5 |- ( a = d -> <" a B c "> = <" d B c "> )
70	69	sneqd 4189	. . . 4 |- ( a = d -> { <" a B c "> } = { <" d B c "> } )
71	65, 70	iuneq12d 4546	. . 3 |- ( a = d -> U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } = U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } )
72	71	disjor 4634	. 2 |- (Disj a e. Y U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } <-> A. a e. Y A. d e. Y ( a = d \/ ( U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } i^i U_ c e. ( Z \ { d } ) { <" d B c "> } ) = (/) ) )
73	63, 72	sylibr 224	1 |- ( B e. X -> Disj a e. Y U_ c e. ( Z \ { a } ) { <" a B c "> } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   ` cfv 5888   0cc0 9936   1c1 9937   2c2 11070   3c3 11071   #chash 13117  Word cword 13291   <"cs3 13587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594

This theorem is referenced by:  fusgreghash2wspv  27199