ofccat - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ofccat		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem ofccat 13708

Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ofccat.1	Word
ofccat.2	Word
ofccat.3	Word
ofccat.4	Word
ofccat.5
ofccat.6

**Assertion**
Ref	Expression
ofccat	++ ++ ++

Proof of Theorem ofccat Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofccat.1	. . . . . . . . . . 11 Word
2		wrdf 13310	. . . . . . . . . . 11 Word ..^
3		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ..^
5		ofccat.3	. . . . . . . . . . . 12 Word
6		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . 12 Word ..^
7		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ..^
9		ofccat.5	. . . . . . . . . . . . 13
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
11	10	fneq2d 5982	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
12	8, 11	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ..^
13		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 ..^
14		inidm 3822	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ..^
15	4, 12, 13, 13, 14	offn 6908	. . . . . . . . 9 ..^
16		hashfn 13164	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ..^
18		wrdfin 13323	. . . . . . . . . 10 Word
19		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10
20	1, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . 9
21		hashfzo0 13217	. . . . . . . . 9 ..^
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ..^
23	17, 22	eqtrd 2656	. . . . . . 7
24	23	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ ..^
25	24	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$ ..^ ..^ ..^
26	25	eleq2d 2687	. . . 4 $/\$ ..^ ..^ ..^
27	4	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
28	12	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
29		ovexd 6680	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
30	26	biimpa 501	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
31		fnfvof 6911	. . . . 5 ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^
32	27, 28, 29, 30, 31	syl22anc 1327	. . . 4 $/\$ ..^ $/\$ ..^
33	23	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$ ..^
34	33	oveq2d 6666	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$ ..^
35	34	fveq2d 6195	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$ ..^
36		ofccat.2	. . . . . . . 8 Word
37		wrdf 13310	. . . . . . . 8 Word ..^
38		ffn 6045	. . . . . . . 8 ..^ ..^
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ..^
40	39	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
41		ofccat.4	. . . . . . . . 9 Word
42		wrdf 13310	. . . . . . . . 9 Word ..^
43		ffn 6045	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . 8 ..^
45		ofccat.6	. . . . . . . . . 10
46	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
47	46	fneq2d 5982	. . . . . . . 8 ..^ ..^
48	44, 47	mpbird 247	. . . . . . 7 ..^
49	48	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
50		ovexd 6680	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
51		simplr 792	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
52		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
53	25	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^ ..^
54	52, 53	neleqtrd 2722	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
55	20	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$ ..^
56	55	nn0zd 11480	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$ ..^
57		wrdfin 13323	. . . . . . . . . 10 Word
58		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10
59	36, 57, 58	3syl 18	. . . . . . . . 9
60	59	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$ ..^
61	60	nn0zd 11480	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$ ..^
62		fzocatel 12531	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
63	51, 54, 56, 61, 62	syl22anc 1327	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
64		fnfvof 6911	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^
65	40, 49, 50, 63, 64	syl22anc 1327	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$ ..^
66	35, 65	eqtrd 2656	. . . 4 $/\$ ..^ $/\$ ..^
67	26, 32, 66	ifbieq12d2 4119	. . 3 $/\$ ..^ ..^ ..^
68	67	mpteq2dva 4744	. 2 ..^ ..^ ..^ ..^
69		ovex 6678	. . . 4
70		ovex 6678	. . . 4
71		ccatfval 13358	. . . 4 $/\$ ++ ..^ ..^
72	69, 70, 71	mp2an 708	. . 3 ++ ..^ ..^
73		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 ..^
74		inidm 3822	. . . . . . . . 9 ..^ ..^ ..^
75	39, 48, 73, 73, 74	offn 6908	. . . . . . . 8 ..^
76		hashfn 13164	. . . . . . . 8 ..^ ..^
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 ..^
78		hashfzo0 13217	. . . . . . . 8 ..^
79	59, 78	syl 17	. . . . . . 7 ..^
80	77, 79	eqtrd 2656	. . . . . 6
81	23, 80	oveq12d 6668	. . . . 5
82	81	oveq2d 6666	. . . 4 ..^ ..^
83	82	mpteq1d 4738	. . 3 ..^ ..^ ..^ ..^
84	72, 83	syl5eq 2668	. 2 ++ ..^ ..^
85		ovexd 6680	. . . . 5 ..^
86		fvex 6201	. . . . . . 7
87		fvex 6201	. . . . . . 7
88	86, 87	ifex 4156	. . . . . 6 ..^
89	88	a1i 11	. . . . 5 $/\$ ..^ ..^
90		fvex 6201	. . . . . . 7
91		fvex 6201	. . . . . . 7
92	90, 91	ifex 4156	. . . . . 6 ..^
93	92	a1i 11	. . . . 5 $/\$ ..^ ..^
94		ccatfval 13358	. . . . . 6 Word $/\$ Word ++ ..^ ..^
95	1, 36, 94	syl2anc 693	. . . . 5 ++ ..^ ..^
96		ccatfval 13358	. . . . . . 7 Word $/\$ Word ++ ..^ ..^
97	5, 41, 96	syl2anc 693	. . . . . 6 ++ ..^ ..^
98	9, 45	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ..^ ..^
100	99	mpteq1d 4738	. . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
101	97, 100	eqtr4d 2659	. . . . 5 ++ ..^ ..^
102	85, 89, 93, 95, 101	offval2 6914	. . . 4 ++ ++ ..^ ..^ ..^
103	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ ..^ ..^
105	104	eleq2d 2687	. . . . . . 7 $/\$ ..^ ..^ ..^
106	103	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . 7 $/\$ ..^
108	105, 107	ifbieq2d 4111	. . . . . 6 $/\$ ..^ ..^ ..^
109	108	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
110	109	mpteq2dva 4744	. . . 4 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
111	102, 110	eqtr4d 2659	. . 3 ++ ++ ..^ ..^ ..^
112		ovif12 6739	. . . 4 ..^ ..^ ..^
113	112	mpteq2i 4741	. . 3 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
114	111, 113	syl6eq 2672	. 2 ++ ++ ..^ ..^
115	68, 84, 114	3eqtr4rd 2667	1 ++ ++ ++

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cvv 3200

cif 4086

cmpt 4729

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

cfn 7955

cc0 9936

caddc 9939

cmin 10266

cn0 11292

cz 11377 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 ++ cconcat 13293

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301

This theorem is referenced by: ofs2 13710 ofcccat 30620

W3C validator