Theorem sdclem2 33538

Description: Lemma for sdc 33540. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
sdc.2	|- ( g = ( f |` ( M ... n ) ) -> ( ps <-> ch ) )
sdc.3	|- ( n = M -> ( ps <-> ta ) )
sdc.4	|- ( n = k -> ( ps <-> th ) )
sdc.5	|- ( ( g = h /\ n = ( k + 1 ) ) -> ( ps <-> si ) )
sdc.6	|- ( ph -> A e. V )
sdc.7	|- ( ph -> M e. ZZ )
sdc.8	|- ( ph -> E. g ( g : { M } --> A /\ ta ) )
sdc.9	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) -> E. h ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
sdc.10	|- J = { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) }
sdc.11	|- F = ( w e. Z , x e. J |-> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )
sdc.12	|- F/ k ph
sdc.13	|- ( ph -> G : Z --> J )
sdc.14	|- ( ph -> ( G ` M ) : ( M ... M ) --> A )
sdc.15	|- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) e. ( w F ( G ` w ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sdclem2	|- ( ph -> E. f ( f : Z --> A /\ A. n e. Z ch ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, k, n, w, x, A   h, J, k, w, x   f, M, g, h, k, n, w, x   ch, g   n, F, w, x   ps, f, h, k, x   si, f, g, n, x   f, G, g, h, k, n, w, x   ph, n, w, x   th, n, w, x   h, V   ta, h, k, n, w, x   f, Z, g, h, k, n, w, x

Allowed substitution hints:   ph( f, g, h, k)   ps( w, g, n)   ch( x, w, f, h, k, n)   th( f, g, h, k)   ta( f, g)   si( w, h, k)   F( f, g, h, k)   J( f, g, n)   V( x, w, f, g, k, n)

Proof of Theorem sdclem2

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdc.12	. . 3 |- F/ k ph
2		sdc.13	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : Z --> J )
3	2	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. J )
4		sdc.10	. . . . . . . . 9 |- J = { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) }
5	4	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` k ) e. J <-> ( G ` k ) e. { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } )
6		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ g Z
7		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ g ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A
8		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . 11 |- F/ g [. ( G ` k ) / g ]. ps
9	7, 8	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ g ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps )
10	6, 9	nfrex 3007	. . . . . . . . 9 |- F/ g E. n e. Z ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps )
11		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( G ` k ) e. _V
12		feq1 6026	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( G ` k ) -> ( g : ( M ... n ) --> A <-> ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A ) )
13		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( G ` k ) -> ( ps <-> [. ( G ` k ) / g ]. ps ) )
14	12, 13	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( G ` k ) -> ( ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) <-> ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) ) )
15	14	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( G ` k ) -> ( E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) <-> E. n e. Z ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) ) )
16	10, 11, 15	elabf 3349	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` k ) e. { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } <-> E. n e. Z ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) )
17	5, 16	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( G ` k ) e. J <-> E. n e. Z ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) )
18	3, 17	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E. n e. Z ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) )
19		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A -> dom ( G ` k ) = ( M ... n ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) -> dom ( G ` k ) = ( M ... n ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
22		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = M -> ( M ... x ) = ( M ... M ) )
23	22	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = M -> ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
24	21, 23	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = M -> ( ( G ` x ) = ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) <-> ( G ` M ) = ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) )
25	24	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( G ` x ) = ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> ( G ` M ) = ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> ( G ` x ) = ( G ` w ) )
27		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> ( M ... x ) = ( M ... w ) )
28	27	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> ( ( G ` x ) = ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) <-> ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) )
30	29	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> ( ( ph -> ( G ` x ) = ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) )
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( w + 1 ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( w + 1 ) ) )
32		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( w + 1 ) -> ( M ... x ) = ( M ... ( w + 1 ) ) )
33	32	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( w + 1 ) -> ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
34	31, 33	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( w + 1 ) -> ( ( G ` x ) = ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) <-> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) )
35	34	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( w + 1 ) -> ( ( ph -> ( G ` x ) = ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) )
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
37		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = k -> ( M ... x ) = ( M ... k ) )
38	37	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = k -> ( ( G ` x ) = ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) <-> ( G ` k ) = ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) )
40	39	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = k -> ( ( ph -> ( G ` x ) = ( m e. ( M ... x ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> ( G ` k ) = ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = k -> ( G ` m ) = ( G ` k ) )
42		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = k -> m = k )
43	41, 42	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = k -> ( ( G ` m ) ` m ) = ( ( G ` k ) ` k ) )
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) )
45		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G ` k ) ` k ) e. _V
46	43, 44, 45	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( M ... M ) -> ( ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) ` k ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... M ) ) -> ( ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) ` k ) )
48		elfz1eq 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( M ... M ) -> k = M )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... M ) ) -> k = M )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... M ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
51	50	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... M ) ) -> ( ( G ` k ) ` k ) = ( ( G ` M ) ` k ) )
52	47, 51	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... M ) ) -> ( ( G ` M ) ` k ) = ( ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` k ) )
53	52	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( k e. ( M ... M ) -> ( ( G ` M ) ` k ) = ( ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` k ) ) )
54	1, 53	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. k e. ( M ... M ) ( ( G ` M ) ` k ) = ( ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` k ) )
55		sdc.14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( G ` M ) : ( M ... M ) --> A )
56		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( G ` M ) : ( M ... M ) --> A -> ( G ` M ) Fn ( M ... M ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( G ` M ) Fn ( M ... M ) )
58		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( G ` m ) ` m ) e. _V
59	58, 44	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) Fn ( M ... M )
60		eqfnfv 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( G ` M ) Fn ( M ... M ) /\ ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) Fn ( M ... M ) ) -> ( ( G ` M ) = ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) <-> A. k e. ( M ... M ) ( ( G ` M ) ` k ) = ( ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` k ) ) )
61	57, 59, 60	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( G ` M ) = ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) <-> A. k e. ( M ... M ) ( ( G ` M ) ` k ) = ( ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` k ) ) )
62	54, 61	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( G ` M ) = ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( G ` M ) = ( m e. ( M ... M ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) )
64		sdc.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- Z = ( ZZ>= ` M )
65	64	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. Z <-> w e. ( ZZ>= ` M ) )
66	2	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( G ` w ) e. J )
67		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w e. Z )
68		3simpa 1058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) -> ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) )
69	68	reximi 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) -> E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) )
70	69	ss2abi 3674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } C_ { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) }
71		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
72	64, 71	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- Z e. _V
73		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- F/ k w e. Z
74	1, 73	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- F/ k ( ph /\ w e. Z )
75		sdc.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ph -> A e. V )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> A e. V )
77		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) -> h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A )
78		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( M ... ( k + 1 ) ) e. _V
79		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( A e. V /\ ( M ... ( k + 1 ) ) e. _V ) -> ( h e. ( A ^m ( M ... ( k + 1 ) ) ) <-> h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A ) )
80	78, 79	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( A e. V -> ( h e. ( A ^m ( M ... ( k + 1 ) ) ) <-> h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A ) )
81	77, 80	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( A e. V -> ( ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) -> h e. ( A ^m ( M ... ( k + 1 ) ) ) ) )
82	81	abssdv 3676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( A e. V -> { h | ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } C_ ( A ^m ( M ... ( k + 1 ) ) ) )
83	76, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> { h | ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } C_ ( A ^m ( M ... ( k + 1 ) ) ) )
84		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( A ^m ( M ... ( k + 1 ) ) ) e. _V
85		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( { h | ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } C_ ( A ^m ( M ... ( k + 1 ) ) ) /\ ( A ^m ( M ... ( k + 1 ) ) ) e. _V ) -> { h | ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } e. _V )
86	83, 84, 85	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> { h | ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } e. _V )
87	86	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( k e. Z -> { h | ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } e. _V ) )
88	74, 87	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> A. k e. Z { h | ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } e. _V )
89		abrexex2g 7144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Z e. _V /\ A. k e. Z { h | ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } e. _V ) -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } e. _V )
90	72, 88, 89	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } e. _V )
91		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } C_ { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } /\ { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } e. _V ) -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V )
92	70, 90, 91	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V )
93		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( x = ( G ` w ) -> ( x = ( h |` ( M ... k ) ) <-> ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) )
94	93	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x = ( G ` w ) -> ( ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) <-> ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
95	94	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( x = ( G ` w ) -> ( E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) <-> E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
96	95	abbidv 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = ( G ` w ) -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )
97	96	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = ( G ` w ) -> ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V <-> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V ) )
98		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = ( G ` w ) -> ( w F x ) = ( w F ( G ` w ) ) )
99	98, 96	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = ( G ` w ) -> ( ( w F x ) = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } <-> ( w F ( G ` w ) ) = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } ) )
100	97, 99	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = ( G ` w ) -> ( ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V -> ( w F x ) = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } ) <-> ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V -> ( w F ( G ` w ) ) = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } ) ) )
101	100	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = ( G ` w ) -> ( ( w e. Z -> ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V -> ( w F x ) = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } ) ) <-> ( w e. Z -> ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V -> ( w F ( G ` w ) ) = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } ) ) ) )
102		sdc.11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- F = ( w e. Z , x e. J |-> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )
103	102	ovmpt4g 6783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( w e. Z /\ x e. J /\ { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V ) -> ( w F x ) = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )
104	103	3com12 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. J /\ w e. Z /\ { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V ) -> ( w F x ) = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )
105	104	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. J -> ( w e. Z -> ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V -> ( w F x ) = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } ) ) )
106	101, 105	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G ` w ) e. J -> ( w e. Z -> ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. _V -> ( w F ( G ` w ) ) = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } ) ) )
107	66, 67, 92, 106	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w F ( G ` w ) ) = { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )
108	107, 70	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w F ( G ` w ) ) C_ { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } )
109		sdc.15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) e. ( w F ( G ` w ) ) )
110	108, 109	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) e. { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } )
111		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( G ` ( w + 1 ) ) e. _V
112		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h = ( G ` ( w + 1 ) ) -> ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A <-> ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A ) )
113		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h = ( G ` ( w + 1 ) ) -> ( h |` ( M ... k ) ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) )
114	113	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h = ( G ` ( w + 1 ) ) -> ( ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) <-> ( G ` w ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) ) )
115	112, 114	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( h = ( G ` ( w + 1 ) ) -> ( ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) <-> ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) ) ) )
116	115	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( h = ( G ` ( w + 1 ) ) -> ( E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) <-> E. k e. Z ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) ) ) )
117	111, 116	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( G ` ( w + 1 ) ) e. { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( h |` ( M ... k ) ) ) } <-> E. k e. Z ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) ) )
118	110, 117	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> E. k e. Z ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) ) )
119		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ k ( ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
120		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A )
121		fzssp1 12384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( M ... k ) C_ ( M ... ( k + 1 ) )
122		fssres 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( M ... k ) C_ ( M ... ( k + 1 ) ) ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) : ( M ... k ) --> A )
123	120, 121, 122	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) : ( M ... k ) --> A )
124		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) : ( M ... k ) --> A -> dom ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( M ... k ) )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> dom ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( M ... k ) )
126		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) )
127	58, 126	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) Fn ( M ... w )
128		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
129	128	fneq1d 5981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) Fn ( M ... w ) <-> ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) Fn ( M ... w ) ) )
130	127, 129	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) Fn ( M ... w ) )
131		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) Fn ( M ... w ) -> dom ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( M ... w ) )
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> dom ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( M ... w ) )
133	125, 132	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( M ... k ) = ( M ... w ) )
134		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> k e. Z )
135	134, 64	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
136		fzopth 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M ... k ) = ( M ... w ) <-> ( M = M /\ k = w ) ) )
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( M ... k ) = ( M ... w ) <-> ( M = M /\ k = w ) ) )
138	133, 137	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( M = M /\ k = w ) )
139	138	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> k = w )
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( k + 1 ) = ( w + 1 ) )
141	140	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( M ... ( k + 1 ) ) = ( M ... ( w + 1 ) ) )
142		elfzp1 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. ( M ... ( k + 1 ) ) <-> ( x e. ( M ... k ) \/ x = ( k + 1 ) ) ) )
143	135, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( x e. ( M ... ( k + 1 ) ) <-> ( x e. ( M ... k ) \/ x = ( k + 1 ) ) ) )
144	133	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... k ) ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... w ) ) )
145		fzssp1 12384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( M ... w ) C_ ( M ... ( w + 1 ) )
146		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( M ... w ) C_ ( M ... ( w + 1 ) ) -> ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... w ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... w ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) )
148	144, 147	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... k ) ) )
149	128, 148	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... k ) ) )
150	149	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) ` x ) = ( ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... k ) ) ` x ) )
151		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( x e. ( M ... k ) -> ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) ` x ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) )
152		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( x e. ( M ... k ) -> ( ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... k ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) )
153	151, 152	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x e. ( M ... k ) -> ( ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) ` x ) = ( ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... k ) ) ` x ) <-> ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) ) )
154	150, 153	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( x e. ( M ... k ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) ) )
155	140	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( x = ( k + 1 ) <-> x = ( w + 1 ) ) )
156	139, 135	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> w e. ( ZZ>= ` M ) )
157		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( w e. ( ZZ>= ` M ) -> ( w + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
158		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( w + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( w + 1 ) e. ( M ... ( w + 1 ) ) )
159		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( m = ( w + 1 ) -> ( G ` m ) = ( G ` ( w + 1 ) ) )
160		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( m = ( w + 1 ) -> m = ( w + 1 ) )
161	159, 160	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( m = ( w + 1 ) -> ( ( G ` m ) ` m ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` ( w + 1 ) ) )
162		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) )
163		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` ( w + 1 ) ) e. _V
164	161, 162, 163	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( w + 1 ) e. ( M ... ( w + 1 ) ) -> ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` ( w + 1 ) ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` ( w + 1 ) ) )
165	156, 157, 158, 164	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` ( w + 1 ) ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` ( w + 1 ) ) )
166	165	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` ( w + 1 ) ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` ( w + 1 ) ) )
167		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( x = ( w + 1 ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` ( w + 1 ) ) )
168		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( x = ( w + 1 ) -> ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` ( w + 1 ) ) )
169	167, 168	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( x = ( w + 1 ) -> ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) <-> ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` ( w + 1 ) ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` ( w + 1 ) ) ) )
170	166, 169	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( x = ( w + 1 ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) ) )
171	155, 170	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( x = ( k + 1 ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) ) )
172	154, 171	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( x e. ( M ... k ) \/ x = ( k + 1 ) ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) ) )
173	143, 172	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( x e. ( M ... ( k + 1 ) ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) ) )
174	173	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) )
175		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A -> ( G ` ( w + 1 ) ) Fn ( M ... ( k + 1 ) ) )
176	175	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) Fn ( M ... ( k + 1 ) ) )
177	58, 162	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) Fn ( M ... ( w + 1 ) )
178		eqfnfv2 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) Fn ( M ... ( k + 1 ) ) /\ ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) Fn ( M ... ( w + 1 ) ) ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) <-> ( ( M ... ( k + 1 ) ) = ( M ... ( w + 1 ) ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) ) ) )
179	176, 177, 178	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) <-> ( ( M ... ( k + 1 ) ) = ( M ... ( w + 1 ) ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( ( G ` ( w + 1 ) ) ` x ) = ( ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ` x ) ) ) )
180	141, 174, 179	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
181	180	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A ) -> ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) )
182		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( G ` w ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) -> ( ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) <-> ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) )
183	182	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G ` w ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) -> ( ( ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) <-> ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) )
184	181, 183	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) /\ ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A ) -> ( ( G ` w ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) -> ( ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) )
185	184	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ w e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) ) -> ( ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) )
186	185	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( k e. Z -> ( ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) ) -> ( ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) ) )
187	74, 119, 186	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( E. k e. Z ( ( G ` ( w + 1 ) ) : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ ( G ` w ) = ( ( G ` ( w + 1 ) ) |` ( M ... k ) ) ) -> ( ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) )
188	118, 187	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) )
189	188	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. Z -> ( ph -> ( ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) )
190	65, 189	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) )
191	190	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( G ` w ) = ( m e. ( M ... w ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) -> ( ph -> ( G ` ( w + 1 ) ) = ( m e. ( M ... ( w + 1 ) ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) ) )
192	25, 30, 35, 40, 63, 191	uzind4 11746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( G ` k ) = ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) )
193	192, 64	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. Z -> ( ph -> ( G ` k ) = ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) ) )
194	193	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
195	194	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> dom ( G ` k ) = dom ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
196		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. m e. ( M ... k ) ( ( G ` m ) ` m ) e. _V -> dom ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( M ... k ) )
197	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( M ... k ) -> ( ( G ` m ) ` m ) e. _V )
198	196, 197	mprg 2926	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( M ... k )
199	195, 198	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> dom ( G ` k ) = ( M ... k ) )
200	199	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( dom ( G ` k ) = ( M ... n ) <-> ( M ... k ) = ( M ... n ) ) )
201		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
202	201, 64	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
203		fzopth 12378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M ... k ) = ( M ... n ) <-> ( M = M /\ k = n ) ) )
204	202, 203	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( M ... k ) = ( M ... n ) <-> ( M = M /\ k = n ) ) )
205	200, 204	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( dom ( G ` k ) = ( M ... n ) <-> ( M = M /\ k = n ) ) )
206		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = M /\ k = n ) -> k = n )
207	205, 206	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( dom ( G ` k ) = ( M ... n ) -> k = n ) )
208	20, 207	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) -> k = n ) )
209		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( M ... n ) = ( M ... k ) )
210	209	feq2d 6031	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A <-> ( G ` k ) : ( M ... k ) --> A ) )
211		sdc.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ps <-> th ) )
212	211	sbcbidv 3490	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( [. ( G ` k ) / g ]. ps <-> [. ( G ` k ) / g ]. th ) )
213	210, 212	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) <-> ( ( G ` k ) : ( M ... k ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. th ) ) )
214	213	equcoms 1947	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) <-> ( ( G ` k ) : ( M ... k ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. th ) ) )
215	214	biimpcd 239	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) -> ( k = n -> ( ( G ` k ) : ( M ... k ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. th ) ) )
216	208, 215	sylcom 30	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) -> ( ( G ` k ) : ( M ... k ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. th ) ) )
217	216	rexlimdvw 3034	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( E. n e. Z ( ( G ` k ) : ( M ... n ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. ps ) -> ( ( G ` k ) : ( M ... k ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. th ) ) )
218	18, 217	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( G ` k ) : ( M ... k ) --> A /\ [. ( G ` k ) / g ]. th ) )
219	218	simpld 475	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) : ( M ... k ) --> A )
220		eluzfz2 12349	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ( M ... k ) )
221	202, 220	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ( M ... k ) )
222	219, 221	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( G ` k ) ` k ) e. A )
223	43	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( k e. Z |-> ( ( G ` k ) ` k ) )
224	1, 222, 223	fmptdf 6387	. 2 |- ( ph -> ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) : Z --> A )
225	218	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> [. ( G ` k ) / g ]. th )
226	194, 225	sbceq1dd 3441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> [. ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. th )
227	226	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. Z -> [. ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. th ) )
228	1, 227	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ph -> A. k e. Z [. ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. th )
229		mpteq1 4737	. . . . . 6 |- ( ( M ... n ) = ( M ... k ) -> ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
230		dfsbcq 3437	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) = ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( [. ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps <-> [. ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps ) )
231	209, 229, 230	3syl 18	. . . . 5 |- ( n = k -> ( [. ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps <-> [. ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps ) )
232	211	sbcbidv 3490	. . . . 5 |- ( n = k -> ( [. ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps <-> [. ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. th ) )
233	231, 232	bitrd 268	. . . 4 |- ( n = k -> ( [. ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps <-> [. ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. th ) )
234	233	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. n e. Z [. ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps <-> A. k e. Z [. ( m e. ( M ... k ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. th )
235	228, 234	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> A. n e. Z [. ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps )
236	72	mptex 6486	. . 3 |- ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) e. _V
237		feq1 6026	. . . 4 |- ( f = ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( f : Z --> A <-> ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) : Z --> A ) )
238		vex 3203	. . . . . . . 8 |- f e. _V
239	238	resex 5443	. . . . . . 7 |- ( f |` ( M ... n ) ) e. _V
240		sdc.2	. . . . . . 7 |- ( g = ( f |` ( M ... n ) ) -> ( ps <-> ch ) )
241	239, 240	sbcie 3470	. . . . . 6 |- ( [. ( f |` ( M ... n ) ) / g ]. ps <-> ch )
242		reseq1 5390	. . . . . . . 8 |- ( f = ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( f |` ( M ... n ) ) = ( ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... n ) ) )
243		fzssuz 12382	. . . . . . . . . 10 |- ( M ... n ) C_ ( ZZ>= ` M )
244	243, 64	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . 9 |- ( M ... n ) C_ Z
245		resmpt 5449	. . . . . . . . 9 |- ( ( M ... n ) C_ Z -> ( ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... n ) ) = ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
246	244, 245	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) |` ( M ... n ) ) = ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) )
247	242, 246	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( f = ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( f |` ( M ... n ) ) = ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) )
248	247	sbceq1d 3440	. . . . . 6 |- ( f = ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( [. ( f |` ( M ... n ) ) / g ]. ps <-> [. ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps ) )
249	241, 248	syl5bbr 274	. . . . 5 |- ( f = ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( ch <-> [. ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps ) )
250	249	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( f = ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( A. n e. Z ch <-> A. n e. Z [. ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps ) )
251	237, 250	anbi12d 747	. . 3 |- ( f = ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) -> ( ( f : Z --> A /\ A. n e. Z ch ) <-> ( ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) : Z --> A /\ A. n e. Z [. ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps ) ) )
252	236, 251	spcev 3300	. 2 |- ( ( ( m e. Z |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) : Z --> A /\ A. n e. Z [. ( m e. ( M ... n ) |-> ( ( G ` m ) ` m ) ) / g ]. ps ) -> E. f ( f : Z --> A /\ A. n e. Z ch ) )
253	224, 235, 252	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. f ( f : Z --> A /\ A. n e. Z ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   1c1 9937   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  sdclem1  33539