Theorem sdclem1 33539

Description: Lemma for sdc 33540. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
sdc.2	|- ( g = ( f |` ( M ... n ) ) -> ( ps <-> ch ) )
sdc.3	|- ( n = M -> ( ps <-> ta ) )
sdc.4	|- ( n = k -> ( ps <-> th ) )
sdc.5	|- ( ( g = h /\ n = ( k + 1 ) ) -> ( ps <-> si ) )
sdc.6	|- ( ph -> A e. V )
sdc.7	|- ( ph -> M e. ZZ )
sdc.8	|- ( ph -> E. g ( g : { M } --> A /\ ta ) )
sdc.9	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) -> E. h ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
sdc.10	|- J = { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) }
sdc.11	|- F = ( w e. Z , x e. J |-> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )

Assertion

Ref	Expression
sdclem1	|- ( ph -> E. f ( f : Z --> A /\ A. n e. Z ch ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, k, n, w, x, A   h, J, k, w, x   f, M, g, h, k, n, w, x   ch, g   n, F, w, x   ps, f, h, k, x   si, f, g, n, x   ph, n, w, x   th, n, w, x   h, V   ta, h, k, n, w, x   f, Z, g, h, k, n, w, x   ph, g, h, k

Allowed substitution hints:   ph( f)   ps( w, g, n)   ch( x, w, f, h, k, n)   th( f, g, h, k)   ta( f, g)   si( w, h, k)   F( f, g, h, k)   J( f, g, n)   V( x, w, f, g, k, n)

Proof of Theorem sdclem1

Dummy variables j m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdc.8	. 2 |- ( ph -> E. g ( g : { M } --> A /\ ta ) )
2		sdc.10	. . . . . 6 |- J = { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) }
3		sdc.1	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- Z e. _V
6		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) -> g : ( M ... n ) --> A )
7		sdc.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. V )
8		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M ... n ) e. _V
9		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ ( M ... n ) e. _V ) -> ( g e. ( A ^m ( M ... n ) ) <-> g : ( M ... n ) --> A ) )
10	7, 8, 9	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( g e. ( A ^m ( M ... n ) ) <-> g : ( M ... n ) --> A ) )
11	6, 10	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) -> g e. ( A ^m ( M ... n ) ) ) )
12	11	abssdv 3676	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { g | ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } C_ ( A ^m ( M ... n ) ) )
13		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( A ^m ( M ... n ) ) e. _V
14		ssexg 4804	. . . . . . . . 9 |- ( ( { g | ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } C_ ( A ^m ( M ... n ) ) /\ ( A ^m ( M ... n ) ) e. _V ) -> { g | ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } e. _V )
15	12, 13, 14	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { g | ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } e. _V )
16	15	ralrimivw 2967	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. Z { g | ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } e. _V )
17		abrexex2g 7144	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. _V /\ A. n e. Z { g | ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } e. _V ) -> { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } e. _V )
18	5, 16, 17	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } e. _V )
19	2, 18	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> J e. _V )
20	19	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> J e. _V )
21		sdc.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> M e. ZZ )
23		uzid 11702	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
25	24, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> M e. Z )
26		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> g : { M } --> A )
27		fzsn 12383	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
28	22, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( M ... M ) = { M } )
29	28	feq2d 6031	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( g : ( M ... M ) --> A <-> g : { M } --> A ) )
30	26, 29	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> g : ( M ... M ) --> A )
31		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ta )
32		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> ( M ... n ) = ( M ... M ) )
33	32	feq2d 6031	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( g : ( M ... n ) --> A <-> g : ( M ... M ) --> A ) )
34		sdc.3	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( ps <-> ta ) )
35	33, 34	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) <-> ( g : ( M ... M ) --> A /\ ta ) ) )
36	35	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( M e. Z /\ ( g : ( M ... M ) --> A /\ ta ) ) -> E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) )
37	25, 30, 31, 36	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) )
38	2	abeq2i 2735	. . . . 5 |- ( g e. J <-> E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) )
39	37, 38	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> g e. J )
40	3	peano2uzs 11742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. Z -> ( k + 1 ) e. Z )
41	40	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) -> ( k + 1 ) e. Z )
42		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) -> h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A )
43		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) -> si )
44		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- h e. _V
45		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k + 1 ) e. _V
46		sdc.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g = h /\ n = ( k + 1 ) ) -> ( ps <-> si ) )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( g = h /\ n = ( k + 1 ) ) -> ( ps <-> si ) ) )
48	44, 45, 47	sbc2iedv 3506	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( [. h / g ]. [. ( k + 1 ) / n ]. ps <-> si ) )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) -> ( [. h / g ]. [. ( k + 1 ) / n ]. ps <-> si ) )
50	43, 49	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) -> [. h / g ]. [. ( k + 1 ) / n ]. ps )
51		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A
52		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n h
53		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ n [. ( k + 1 ) / n ]. ps
54	52, 53	nfsbc 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n [. h / g ]. [. ( k + 1 ) / n ]. ps
55	51, 54	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ n ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ [. h / g ]. [. ( k + 1 ) / n ]. ps )
56		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( M ... n ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
57	56	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( h : ( M ... n ) --> A <-> h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A ) )
58		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ps <-> [. ( k + 1 ) / n ]. ps ) )
59	58	sbcbidv 3490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( [. h / g ]. ps <-> [. h / g ]. [. ( k + 1 ) / n ]. ps ) )
60	57, 59	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( h : ( M ... n ) --> A /\ [. h / g ]. ps ) <-> ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ [. h / g ]. [. ( k + 1 ) / n ]. ps ) ) )
61	55, 60	rspce 3304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k + 1 ) e. Z /\ ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ [. h / g ]. [. ( k + 1 ) / n ]. ps ) ) -> E. n e. Z ( h : ( M ... n ) --> A /\ [. h / g ]. ps ) )
62	41, 42, 50, 61	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) -> E. n e. Z ( h : ( M ... n ) --> A /\ [. h / g ]. ps ) )
63	2	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h e. J <-> h e. { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } )
64		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ g Z
65		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ g h : ( M ... n ) --> A
66		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ g [. h / g ]. ps
67	65, 66	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ g ( h : ( M ... n ) --> A /\ [. h / g ]. ps )
68	64, 67	nfrex 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ g E. n e. Z ( h : ( M ... n ) --> A /\ [. h / g ]. ps )
69		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( g = h -> ( g : ( M ... n ) --> A <-> h : ( M ... n ) --> A ) )
70		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( g = h -> ( ps <-> [. h / g ]. ps ) )
71	69, 70	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = h -> ( ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) <-> ( h : ( M ... n ) --> A /\ [. h / g ]. ps ) ) )
72	71	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> ( E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) <-> E. n e. Z ( h : ( M ... n ) --> A /\ [. h / g ]. ps ) ) )
73	68, 44, 72	elabf 3349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h e. { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } <-> E. n e. Z ( h : ( M ... n ) --> A /\ [. h / g ]. ps ) )
74	63, 73	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. J <-> E. n e. Z ( h : ( M ... n ) --> A /\ [. h / g ]. ps ) )
75	62, 74	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) -> h e. J )
76	75	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) -> h e. J ) )
77	76	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) -> h e. J ) )
78	77	abssdv 3676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } C_ J )
79	78	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ x e. J ) -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } C_ J )
80	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ x e. J ) -> J e. _V )
81		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. _V -> ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. ~P J <-> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } C_ J ) )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ x e. J ) -> ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. ~P J <-> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } C_ J ) )
83	79, 82	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ x e. J ) -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. ~P J )
84		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( M ... n ) = ( M ... k ) )
85	84	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> ( g : ( M ... n ) --> A <-> g : ( M ... k ) --> A ) )
86		sdc.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> ( ps <-> th ) )
87	85, 86	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = k -> ( ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) <-> ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) ) )
88	87	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) <-> E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) )
89		sdc.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) -> E. h ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
90	89	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) -> E. k e. Z E. h ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
91		rexcom4 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. k e. Z E. h ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) <-> E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) )
92	90, 91	syl6ib 241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) -> E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
93	88, 92	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) -> E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
94	93	ss2abdv 3675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } C_ { g | E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )
95	2, 94	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J C_ { g | E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )
96	95	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. J ) -> x e. { g | E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )
97		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
98		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = x -> ( g = ( h |` ( M ... k ) ) <-> x = ( h |` ( M ... k ) ) ) )
99	98	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = x -> ( ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) <-> ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
100	99	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = x -> ( E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) <-> E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
101	100	exbidv 1850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = x -> ( E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) <-> E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
102	97, 101	elab 3350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { g | E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } <-> E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) )
103	96, 102	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. J ) -> E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) )
104		abn0 3954	. . . . . . . . . . 11 |- ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } =/= (/) <-> E. h E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) )
105	103, 104	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. J ) -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } =/= (/) )
106	105	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ x e. J ) -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } =/= (/) )
107		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. ( ~P J \ { (/) } ) <-> ( { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. ~P J /\ { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } =/= (/) ) )
108	83, 106, 107	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ x e. J ) -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. ( ~P J \ { (/) } ) )
109	108	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( w e. Z /\ x e. J ) ) -> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. ( ~P J \ { (/) } ) )
110	109	ralrimivva 2971	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> A. w e. Z A. x e. J { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. ( ~P J \ { (/) } ) )
111		sdc.11	. . . . . . 7 |- F = ( w e. Z , x e. J |-> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )
112	111	fmpt2 7237	. . . . . 6 |- ( A. w e. Z A. x e. J { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } e. ( ~P J \ { (/) } ) <-> F : ( Z X. J ) --> ( ~P J \ { (/) } ) )
113	110, 112	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> F : ( Z X. J ) --> ( ~P J \ { (/) } ) )
114	21	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( M e. ZZ , M , 0 ) = M )
115	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
116	115, 3	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = Z )
117	116	xpeq1d 5138	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) X. J ) = ( Z X. J ) )
118	117	feq2d 6031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : ( ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) X. J ) --> ( ~P J \ { (/) } ) <-> F : ( Z X. J ) --> ( ~P J \ { (/) } ) ) )
119	118	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F : ( Z X. J ) --> ( ~P J \ { (/) } ) ) -> F : ( ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) X. J ) --> ( ~P J \ { (/) } ) )
120	113, 119	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> F : ( ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) X. J ) --> ( ~P J \ { (/) } ) )
121		0z 11388	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
122	121	elimel 4150	. . . . 5 |- if ( M e. ZZ , M , 0 ) e. ZZ
123		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) )
124	122, 123	axdc4uz 12783	. . . 4 |- ( ( J e. _V /\ g e. J /\ F : ( ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) X. J ) --> ( ~P J \ { (/) } ) ) -> E. j ( j : ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) --> J /\ ( j ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = g /\ A. m e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) )
125	20, 39, 120, 124	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> E. j ( j : ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) --> J /\ ( j ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = g /\ A. m e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) )
126	22	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> if ( M e. ZZ , M , 0 ) = M )
127	126	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
128	127, 3	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = Z )
129	128	feq2d 6031	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( j : ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) --> J <-> j : Z --> J ) )
130	88	abbii 2739	. . . . . . . . 9 |- { g | E. n e. Z ( g : ( M ... n ) --> A /\ ps ) } = { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) }
131	2, 130	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- J = { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) }
132		feq3 6028	. . . . . . . 8 |- ( J = { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } -> ( j : Z --> J <-> j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } ) )
133	131, 132	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( j : Z --> J <-> j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } )
134	129, 133	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( j : ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) --> J <-> j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } ) )
135	126	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( j ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = ( j ` M ) )
136	135	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( ( j ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = g <-> ( j ` M ) = g ) )
137	128	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) <-> A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) )
138	134, 136, 137	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( ( j : ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) --> J /\ ( j ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = g /\ A. m e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) <-> ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) )
139		sdc.2	. . . . . . 7 |- ( g = ( f |` ( M ... n ) ) -> ( ps <-> ch ) )
140	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> A e. V )
141	21	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> M e. ZZ )
142	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> E. g ( g : { M } --> A /\ ta ) )
143		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> ph )
144	143, 89	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) -> E. h ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ g = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) ) )
145		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) )
146		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k j
147		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k Z
148		nfre1 3005	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th )
149	148	nfab 2769	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) }
150	146, 147, 149	nff 6041	. . . . . . . . 9 |- F/ k j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) }
151		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( j ` M ) = g
152		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k m
153	131, 149	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k J
154		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si )
155	154	nfab 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) }
156	147, 153, 155	nfmpt2 6724	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k ( w e. Z , x e. J |-> { h | E. k e. Z ( h : ( M ... ( k + 1 ) ) --> A /\ x = ( h |` ( M ... k ) ) /\ si ) } )
157	111, 156	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k F
158		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ( j ` m )
159	152, 157, 158	nfov 6676	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( m F ( j ` m ) )
160	159	nfel2 2781	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) )
161	147, 160	nfral 2945	. . . . . . . . 9 |- F/ k A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) )
162	150, 151, 161	nf3an 1831	. . . . . . . 8 |- F/ k ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) )
163	145, 162	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) )
164		simpr1 1067	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } )
165	164, 133	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> j : Z --> J )
166	26	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> g : { M } --> A )
167		simpr2 1068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> ( j ` M ) = g )
168	141, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> ( M ... M ) = { M } )
169	167, 168	feq12d 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> ( ( j ` M ) : ( M ... M ) --> A <-> g : { M } --> A ) )
170	166, 169	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> ( j ` M ) : ( M ... M ) --> A )
171		simpr3 1069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) )
172		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( m + 1 ) = ( w + 1 ) )
173	172	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( j ` ( m + 1 ) ) = ( j ` ( w + 1 ) ) )
174		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> m = w )
175		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( j ` m ) = ( j ` w ) )
176	174, 175	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( m F ( j ` m ) ) = ( w F ( j ` w ) ) )
177	173, 176	eleq12d 2695	. . . . . . . . 9 |- ( m = w -> ( ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) <-> ( j ` ( w + 1 ) ) e. ( w F ( j ` w ) ) ) )
178	177	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) /\ w e. Z ) -> ( j ` ( w + 1 ) ) e. ( w F ( j ` w ) ) )
179	171, 178	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) /\ w e. Z ) -> ( j ` ( w + 1 ) ) e. ( w F ( j ` w ) ) )
180	3, 139, 34, 86, 46, 140, 141, 142, 144, 2, 111, 163, 165, 170, 179	sdclem2 33538	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) /\ ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) ) -> E. f ( f : Z --> A /\ A. n e. Z ch ) )
181	180	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( ( j : Z --> { g | E. k e. Z ( g : ( M ... k ) --> A /\ th ) } /\ ( j ` M ) = g /\ A. m e. Z ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) -> E. f ( f : Z --> A /\ A. n e. Z ch ) ) )
182	138, 181	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( ( j : ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) --> J /\ ( j ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = g /\ A. m e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) -> E. f ( f : Z --> A /\ A. n e. Z ch ) ) )
183	182	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> ( E. j ( j : ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) --> J /\ ( j ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) = g /\ A. m e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) ( j ` ( m + 1 ) ) e. ( m F ( j ` m ) ) ) -> E. f ( f : Z --> A /\ A. n e. Z ch ) ) )
184	125, 183	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( g : { M } --> A /\ ta ) ) -> E. f ( f : Z --> A /\ A. n e. Z ch ) )
185	1, 184	exlimddv 1863	1 |- ( ph -> E. f ( f : Z --> A /\ A. n e. Z ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-dc 9268  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  sdc  33540