Theorem eluznn 11758

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in NN. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	|- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	uztrn2 11705	1 |- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   ` cfv 5888   1c1 9937   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  elfzo1  12517  expmulnbnd  12996  bcval5  13105  isercolllem1  14395  isercoll  14398  o1fsum  14545  climcndslem1  14581  climcndslem2  14582  climcnds  14583  mertenslem2  14617  rpnnen2lem6  14948  rpnnen2lem7  14949  rpnnen2lem9  14951  rpnnen2lem11  14953  pcmpt2  15597  pcmptdvds  15598  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  prmreclem6  15625  vdwnnlem2  15700  2expltfac  15799  setsstructOLD  15899  1stcelcls  21264  lmnn  23061  cmetcaulem  23086  causs  23096  caubl  23106  caublcls  23107  ovolunlem1a  23264  volsuplem  23323  uniioombllem3  23353  mbfi1fseqlem6  23487  aaliou3lem2  24098  birthdaylem2  24679  lgamgulmlem4  24758  lgamcvg2  24781  chtub  24937  bclbnd  25005  bposlem3  25011  bposlem4  25012  bposlem5  25013  bposlem6  25014  lgsdilem2  25058  chebbnd1lem1  25158  chebbnd1lem2  25159  chebbnd1lem3  25160  dchrisumlema  25177  dchrisumlem2  25179  dchrisumlem3  25180  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  pntrsumbnd2  25256  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntlemh  25288  pntlemq  25290  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemf  25294  minvecolem3  27732  minvecolem4  27736  h2hcau  27836  h2hlm  27837  chscllem2  28497  sinccvglem  31566  lmclim2  33554  geomcau  33555  heibor1lem  33608  rrncmslem  33631  divcnvg  39859  stoweidlem7  40224  stirlinglem12  40302  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427