Theorem measiuns 30280

Description: The measure of the union of a collection of sets, expressed as the sum of a disjoint set. This is used as a lemma for both measiun 30281 and meascnbl 30282. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2017.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
measiuns.0	|- F/_ n B
measiuns.1	|- ( n = k -> A = B )
measiuns.2	|- ( ph -> ( N = NN \/ N = ( 1..^ I ) ) )
measiuns.3	|- ( ph -> M e. (measures ` S ) )
measiuns.4	|- ( ( ph /\ n e. N ) -> A e. S )

Assertion

Ref	Expression
measiuns	|- ( ph -> ( M ` U_ n e. N A ) = Σ* n e. N ( M ` ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, n, I   n, M   k, N, n   S, k, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   A( n)   B( k, n)   M( k)

Proof of Theorem measiuns

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measiuns.0	. . . 4 |- F/_ n B
2		measiuns.1	. . . 4 |- ( n = k -> A = B )
3		measiuns.2	. . . 4 |- ( ph -> ( N = NN \/ N = ( 1..^ I ) ) )
4	1, 2, 3	iundisjcnt 29557	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. N A = U_ n e. N ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
5	4	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( M ` U_ n e. N A ) = ( M ` U_ n e. N ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) )
6		measiuns.3	. . 3 |- ( ph -> M e. (measures ` S ) )
7		measbase 30260	. . . . . . 7 |- ( M e. (measures ` S ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. N ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
10		measiuns.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. N ) -> A e. S )
11		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. N ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> ph )
12		fzossnn 12516	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1..^ n ) C_ NN
13		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. N ) /\ N = NN ) -> N = NN )
14	12, 13	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. N ) /\ N = NN ) -> ( 1..^ n ) C_ N )
15		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. N ) /\ N = ( 1..^ I ) ) -> n e. N )
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. N ) /\ N = ( 1..^ I ) ) -> N = ( 1..^ I ) )
17	15, 16	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. N ) /\ N = ( 1..^ I ) ) -> n e. ( 1..^ I ) )
18		elfzouz2 12484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1..^ I ) -> I e. ( ZZ>= ` n ) )
19		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. ( ZZ>= ` n ) -> ( 1..^ n ) C_ ( 1..^ I ) )
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. N ) /\ N = ( 1..^ I ) ) -> ( 1..^ n ) C_ ( 1..^ I ) )
21	20, 16	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. N ) /\ N = ( 1..^ I ) ) -> ( 1..^ n ) C_ N )
22	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. N ) -> ( N = NN \/ N = ( 1..^ I ) ) )
23	14, 21, 22	mpjaodan 827	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. N ) -> ( 1..^ n ) C_ N )
24	23	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. N ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> k e. N )
25	10	sbimi 1886	. . . . . . . . 9 |- ( [ k / n ] ( ph /\ n e. N ) -> [ k / n ] A e. S )
26		sban 2399	. . . . . . . . . 10 |- ( [ k / n ] ( ph /\ n e. N ) <-> ( [ k / n ] ph /\ [ k / n ] n e. N ) )
27		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ph
28	27	sbf 2380	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ k / n ] ph <-> ph )
29		clelsb3 2729	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ k / n ] n e. N <-> k e. N )
30	28, 29	anbi12i 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [ k / n ] ph /\ [ k / n ] n e. N ) <-> ( ph /\ k e. N ) )
31	26, 30	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( [ k / n ] ( ph /\ n e. N ) <-> ( ph /\ k e. N ) )
32		sbsbc 3439	. . . . . . . . . 10 |- ( [ k / n ] A e. S <-> [. k / n ]. A e. S )
33		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- k e. _V
34		sbcel1g 3987	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. _V -> ( [. k / n ]. A e. S <-> [_ k / n ]_ A e. S ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( [. k / n ]. A e. S <-> [_ k / n ]_ A e. S )
36		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k A
37	36, 1, 2	cbvcsb 3538	. . . . . . . . . . . 12 |- [_ k / n ]_ A = [_ k / k ]_ B
38		csbid 3541	. . . . . . . . . . . 12 |- [_ k / k ]_ B = B
39	37, 38	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- [_ k / n ]_ A = B
40	39	eleq1i 2692	. . . . . . . . . 10 |- ( [_ k / n ]_ A e. S <-> B e. S )
41	32, 35, 40	3bitri 286	. . . . . . . . 9 |- ( [ k / n ] A e. S <-> B e. S )
42	25, 31, 41	3imtr3i 280	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. N ) -> B e. S )
43	11, 24, 42	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. N ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> B e. S )
44	43	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. N ) -> A. k e. ( 1..^ n ) B e. S )
45		sigaclfu2 30184	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. ( 1..^ n ) B e. S ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) B e. S )
46	9, 44, 45	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. N ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) B e. S )
47		difelsiga 30196	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. S /\ U_ k e. ( 1..^ n ) B e. S ) -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) e. S )
48	9, 10, 46, 47	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. N ) -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) e. S )
49	48	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. n e. N ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) e. S )
50		eqimss 3657	. . . . . 6 |- ( N = NN -> N C_ NN )
51		fzossnn 12516	. . . . . . 7 |- ( 1..^ I ) C_ NN
52		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( N = ( 1..^ I ) -> ( N C_ NN <-> ( 1..^ I ) C_ NN ) )
53	51, 52	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( N = ( 1..^ I ) -> N C_ NN )
54	50, 53	jaoi 394	. . . . 5 |- ( ( N = NN \/ N = ( 1..^ I ) ) -> N C_ NN )
55	3, 54	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> N C_ NN )
56		nnct 12780	. . . 4 |- NN ~<_ om
57		ssct 8041	. . . 4 |- ( ( N C_ NN /\ NN ~<_ om ) -> N ~<_ om )
58	55, 56, 57	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> N ~<_ om )
59	1, 2, 3	iundisj2cnt 29558	. . 3 |- ( ph -> Disj n e. N ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
60		measvuni 30277	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. n e. N ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) e. S /\ ( N ~<_ om /\ Disj n e. N ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) ) -> ( M ` U_ n e. N ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = Σ* n e. N ( M ` ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) )
61	6, 49, 58, 59, 60	syl112anc 1330	. 2 |- ( ph -> ( M ` U_ n e. N ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = Σ* n e. N ( M ` ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) )
62	5, 61	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( M ` U_ n e. N A ) = Σ* n e. N ( M ` ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   [wsb 1880   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   1c1 9937   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465  Σ^*cesum 30089  sigAlgebracsiga 30170  measurescmeas 30258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-siga 30171  df-meas 30259

This theorem is referenced by:  measiun  30281  meascnbl  30282