Theorem measiun 30281

Description: A measure is sub-additive. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
measiun.1	|- ( ph -> M e. (measures ` S ) )
measiun.2	|- ( ph -> A e. S )
measiun.3	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. S )
measiun.4	|- ( ph -> A C_ U_ n e. NN B )

Assertion

Ref	Expression
measiun	|- ( ph -> ( M ` A ) <_ Σ* n e. NN ( M ` B ) )

Distinct variable groups:   ph, n   S, n   n, M

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)

Proof of Theorem measiun

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12256	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		measiun.1	. . . 4 |- ( ph -> M e. (measures ` S ) )
3		measiun.2	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
4		measvxrge0 30268	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
6	1, 5	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> ( M ` A ) e. RR* )
7		measbase 30260	. . . . . 6 |- ( M e. (measures ` S ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
8	2, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
9		measiun.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. S )
10	9	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. NN B e. S )
11		sigaclcu2 30183	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. n e. NN B e. S ) -> U_ n e. NN B e. S )
12	8, 10, 11	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. NN B e. S )
13		measvxrge0 30268	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ U_ n e. NN B e. S ) -> ( M ` U_ n e. NN B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
14	2, 12, 13	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( M ` U_ n e. NN B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15	1, 14	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> ( M ` U_ n e. NN B ) e. RR* )
16		nnex 11026	. . . 4 |- NN e. _V
17	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. (measures ` S ) )
18		measvxrge0 30268	. . . . . 6 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ B e. S ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
19	17, 9, 18	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
20	19	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ n NN
22	21	esumcl 30092	. . . 4 |- ( ( NN e. _V /\ A. n e. NN ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* n e. NN ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
23	16, 20, 22	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> Σ* n e. NN ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
24	1, 23	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> Σ* n e. NN ( M ` B ) e. RR* )
25		measiun.4	. . 3 |- ( ph -> A C_ U_ n e. NN B )
26	2, 3, 12, 25	measssd 30278	. 2 |- ( ph -> ( M ` A ) <_ ( M ` U_ n e. NN B ) )
27		nfcsb1v 3549	. . . 4 |- F/_ n [_ k / n ]_ B
28		csbeq1a 3542	. . . 4 |- ( n = k -> B = [_ k / n ]_ B )
29		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> NN = NN )
30	29	orcd 407	. . . 4 |- ( ph -> ( NN = NN \/ NN = ( 1..^ m ) ) )
31	27, 28, 30, 2, 9	measiuns 30280	. . 3 |- ( ph -> ( M ` U_ n e. NN B ) = Σ* n e. NN ( M ` ( B \ U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B ) ) )
32	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> NN e. _V )
33	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
34		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ph
35		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n k
36	35	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n k e. NN
37	27	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n [_ k / n ]_ B e. S
38	36, 37	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( k e. NN -> [_ k / n ]_ B e. S )
39	34, 38	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( ph -> ( k e. NN -> [_ k / n ]_ B e. S ) )
40		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( n e. NN <-> k e. NN ) )
41	28	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( B e. S <-> [_ k / n ]_ B e. S ) )
42	40, 41	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( n e. NN -> B e. S ) <-> ( k e. NN -> [_ k / n ]_ B e. S ) ) )
43	42	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( ( ph -> ( n e. NN -> B e. S ) ) <-> ( ph -> ( k e. NN -> [_ k / n ]_ B e. S ) ) ) )
44	9	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( n e. NN -> B e. S ) )
45	39, 43, 44	chvar 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. NN -> [_ k / n ]_ B e. S ) )
46	45	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. NN [_ k / n ]_ B e. S )
47		fzossnn 12516	. . . . . . . . . 10 |- ( 1..^ n ) C_ NN
48		ssralv 3666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1..^ n ) C_ NN -> ( A. k e. NN [_ k / n ]_ B e. S -> A. k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B e. S ) )
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. NN [_ k / n ]_ B e. S -> A. k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B e. S )
50		sigaclfu2 30184	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B e. S ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B e. S )
51	49, 50	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN [_ k / n ]_ B e. S ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B e. S )
52	8, 46, 51	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B e. S )
53	52	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B e. S )
54		difelsiga 30196	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ B e. S /\ U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B e. S ) -> ( B \ U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B ) e. S )
55	33, 9, 53, 54	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B \ U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B ) e. S )
56		measvxrge0 30268	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( B \ U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B ) e. S ) -> ( M ` ( B \ U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
57	17, 55, 56	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` ( B \ U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
58		difssd 3738	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B \ U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B ) C_ B )
59	17, 55, 9, 58	measssd 30278	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( M ` ( B \ U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B ) ) <_ ( M ` B ) )
60	32, 57, 19, 59	esumle 30120	. . 3 |- ( ph -> Σ* n e. NN ( M ` ( B \ U_ k e. ( 1..^ n ) [_ k / n ]_ B ) ) <_ Σ* n e. NN ( M ` B ) )
61	31, 60	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( M ` U_ n e. NN B ) <_ Σ* n e. NN ( M ` B ) )
62	6, 15, 24, 26, 61	xrletrd 11993	1 |- ( ph -> ( M ` A ) <_ Σ* n e. NN ( M ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,]cicc 12178  ..^cfzo 12465  Σ^*cesum 30089  sigAlgebracsiga 30170  measurescmeas 30258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-siga 30171  df-meas 30259

This theorem is referenced by: (None)