Theorem axdc4uz 12783

Description: A version of axdc4 9278 that works on an upper set of integers instead of om. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axdc4uz.1	|- M e. ZZ
axdc4uz.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
axdc4uz	|- ( ( A e. V /\ C e. A /\ F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. g ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   g, k, A   C, g   g, F, k   g, M, k   g, Z

Allowed substitution hints:   C( k)   V( g, k)   Z( k)

Proof of Theorem axdc4uz

Dummy variables f n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( f = A -> ( C e. f <-> C e. A ) )
2		xpeq2 5129	. . . . . 6 |- ( f = A -> ( Z X. f ) = ( Z X. A ) )
3		pweq 4161	. . . . . . 7 |- ( f = A -> ~P f = ~P A )
4	3	difeq1d 3727	. . . . . 6 |- ( f = A -> ( ~P f \ { (/) } ) = ( ~P A \ { (/) } ) )
5	2, 4	feq23d 6040	. . . . 5 |- ( f = A -> ( F : ( Z X. f ) --> ( ~P f \ { (/) } ) <-> F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) ) )
6	1, 5	anbi12d 747	. . . 4 |- ( f = A -> ( ( C e. f /\ F : ( Z X. f ) --> ( ~P f \ { (/) } ) ) <-> ( C e. A /\ F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) ) ) )
7		feq3 6028	. . . . . 6 |- ( f = A -> ( g : Z --> f <-> g : Z --> A ) )
8	7	3anbi1d 1403	. . . . 5 |- ( f = A -> ( ( g : Z --> f /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) <-> ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) ) )
9	8	exbidv 1850	. . . 4 |- ( f = A -> ( E. g ( g : Z --> f /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) <-> E. g ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) ) )
10	6, 9	imbi12d 334	. . 3 |- ( f = A -> ( ( ( C e. f /\ F : ( Z X. f ) --> ( ~P f \ { (/) } ) ) -> E. g ( g : Z --> f /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) ) <-> ( ( C e. A /\ F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. g ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) ) ) )
11		axdc4uz.1	. . . 4 |- M e. ZZ
12		axdc4uz.2	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
13		vex 3203	. . . 4 |- f e. _V
14		eqid 2622	. . . 4 |- ( rec ( ( y e. _V |-> ( y + 1 ) ) , M ) |` om ) = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y + 1 ) ) , M ) |` om )
15		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. om , x e. f |-> ( ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( y + 1 ) ) , M ) |` om ) ` n ) F x ) ) = ( n e. om , x e. f |-> ( ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( y + 1 ) ) , M ) |` om ) ` n ) F x ) )
16	11, 12, 13, 14, 15	axdc4uzlem 12782	. . 3 |- ( ( C e. f /\ F : ( Z X. f ) --> ( ~P f \ { (/) } ) ) -> E. g ( g : Z --> f /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) )
17	10, 16	vtoclg 3266	. 2 |- ( A e. V -> ( ( C e. A /\ F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. g ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) ) )
18	17	3impib 1262	1 |- ( ( A e. V /\ C e. A /\ F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. g ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   reccrdg 7505   1c1 9937   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-dc 9268  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  bcthlem5  23125  sdclem1  33539