Theorem stoweidlem24 40241

Description: This lemma proves that for n sufficiently large, q_n( t ) > ( 1 - epsilon ), for all t in V: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). Q is used to represent q_n in the paper, N to represent n in the paper, K to represent k, D to represent δ, and E to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem24.1	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem24.2	|- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem24.3	|- ( ph -> P : T --> RR )
stoweidlem24.4	|- ( ph -> N e. NN0 )
stoweidlem24.5	|- ( ph -> K e. NN0 )
stoweidlem24.6	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem24.8	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem24.9	|- ( ph -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem24.10	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem24	|- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( Q ` t ) )

Distinct variable group:   t, T

Allowed substitution hints:   ph( t)   D( t)   P( t)   Q( t)   E( t)   K( t)   N( t)   V( t)

Proof of Theorem stoweidlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 1 e. RR )
2		stoweidlem24.8	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR+ )
3	2	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
4	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> E e. RR )
5	1, 4	resubcld 10458	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) e. RR )
6		stoweidlem24.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. NN0 )
7	6	nn0red 11352	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. RR )
8	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> K e. RR )
9		stoweidlem24.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P : T --> RR )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> P : T --> RR )
11		stoweidlem24.1	. . . . . . . . . 10 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
12	11	rabeq2i 3197	. . . . . . . . 9 |- ( t e. V <-> ( t e. T /\ ( P ` t ) < ( D / 2 ) ) )
13	12	simplbi 476	. . . . . . . 8 |- ( t e. V -> t e. T )
14	13	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> t e. T )
15	10, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. RR )
16	8, 15	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) e. RR )
17		stoweidlem24.4	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
18	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> N e. NN0 )
19	16, 18	reexpcld 13025	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) e. RR )
20	1, 19	resubcld 10458	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) e. RR )
21	15, 18	reexpcld 13025	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) e. RR )
22	1, 21	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) e. RR )
23	6, 17	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
24	23	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
25		nn0expcl 12874	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ^ N ) e. NN0 )
26	24, 25	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K ^ N ) e. NN0 )
27	22, 26	reexpcld 13025	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) e. RR )
28		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
29		stoweidlem24.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR+ )
30	29	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
31	7, 30	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K x. D ) e. RR )
32	31	rehalfcld 11279	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR )
33	32, 17	reexpcld 13025	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) e. RR )
34	28, 33	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) e. RR )
35	34	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) e. RR )
36		stoweidlem24.9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
37	36	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
38	33	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) e. RR )
39	32	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR )
40	6	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ K )
41	7, 40	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K e. RR /\ 0 <_ K ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K e. RR /\ 0 <_ K ) )
43		stoweidlem24.10	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
44	43	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
45	44	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( P ` t ) )
46	13, 45	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 0 <_ ( P ` t ) )
47		mulge0 10546	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. RR /\ 0 <_ K ) /\ ( ( P ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( P ` t ) ) ) -> 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) )
48	42, 15, 46, 47	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) )
49	30	rehalfcld 11279	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D / 2 ) e. RR )
50	49	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( D / 2 ) e. RR )
51	12	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. V -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) < ( D / 2 ) )
53	15, 50, 52	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) <_ ( D / 2 ) )
54		lemul2a 10878	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P ` t ) e. RR /\ ( D / 2 ) e. RR /\ ( K e. RR /\ 0 <_ K ) ) /\ ( P ` t ) <_ ( D / 2 ) ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( K x. ( D / 2 ) ) )
55	15, 50, 42, 53, 54	syl31anc 1329	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( K x. ( D / 2 ) ) )
56	6	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. CC )
57	56	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> K e. CC )
58	29	rpcnd 11874	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. CC )
59	58	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> D e. CC )
60		2cnne0 11242	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
62		divass 10703	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ D e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) = ( K x. ( D / 2 ) ) )
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. D ) / 2 ) = ( K x. ( D / 2 ) ) )
64	55, 63	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( ( K x. D ) / 2 ) )
65		leexp1a 12919	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K x. ( P ` t ) ) e. RR /\ ( ( K x. D ) / 2 ) e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( K x. ( P ` t ) ) /\ ( K x. ( P ` t ) ) <_ ( ( K x. D ) / 2 ) ) ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) <_ ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) )
66	16, 39, 18, 48, 64, 65	syl32anc 1334	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) <_ ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) )
67	19, 38, 1, 66	lesub2dd 10644	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) <_ ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
68	5, 35, 20, 37, 67	ltletrd 10197	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
69	15	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) e. CC )
70	57, 69, 18	mulexpd 13023	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) = ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) )
71	70	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) = ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) )
72	71	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) = ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) )
73	13, 44	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
74	73	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( P ` t ) <_ 1 )
75		exple1 12920	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 )
76	15, 46, 74, 18, 75	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 )
77		stoweidlem10 40227	. . . . 5 |- ( ( ( ( P ` t ) ^ N ) e. RR /\ ( K ^ N ) e. NN0 /\ ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
78	21, 26, 76, 77	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K ^ N ) x. ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
79	72, 78	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( ( K x. ( P ` t ) ) ^ N ) ) <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
80	5, 20, 27, 68, 79	ltletrd 10197	. 2 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
81		stoweidlem24.2	. . . 4 |- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
82	81, 9, 17, 6	stoweidlem12 40229	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( Q ` t ) = ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
83	13, 82	sylan2 491	. 2 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( Q ` t ) = ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
84	80, 83	breqtrrd 4681	1 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( Q ` t ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  40262