Theorem stoweidlem45 40262

Description: This lemma proves that, given an appropriate K (in another theorem we prove such a K exists), there exists a function q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 ( at the top of page 91): 0 <= q_n <= 1 , q_n < ε on T \ U, and q_n > 1 - ε on V. We use y to represent the final q_n in the paper (the one with n large enough), N to represent n in the paper, K to represent k, D to represent δ, E to represent ε, and P to represent p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem45.1	|- F/_ t P
stoweidlem45.2	|- F/ t ph
stoweidlem45.3	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem45.4	|- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem45.5	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem45.6	|- ( ph -> K e. NN )
stoweidlem45.7	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem45.8	|- ( ph -> D < 1 )
stoweidlem45.9	|- ( ph -> P e. A )
stoweidlem45.10	|- ( ph -> P : T --> RR )
stoweidlem45.11	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem45.12	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
stoweidlem45.13	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem45.14	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem45.15	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem45.16	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem45.17	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem45.18	|- ( ph -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem45.19	|- ( ph -> ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) < E )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem45	|- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, A   f, N, g, t   P, f, g   T, f, g, t   ph, f, g   x, t, A   y, t, A   t, K   x, T   ph, x   y, E   y, Q   y, T   y, U   y, V

Allowed substitution hints:   ph( y, t)   D( x, y, t, f, g)   P( x, y, t)   Q( x, t, f, g)   U( x, t, f, g)   E( x, t, f, g)   K( x, y, f, g)   N( x, y)   V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem45

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem45.1	. . 3 |- F/_ t P
2		stoweidlem45.2	. . 3 |- F/ t ph
3		stoweidlem45.4	. . 3 |- Q = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( t e. T |-> ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ) = ( t e. T |-> ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) )
5		eqid 2622	. . 3 |- ( t e. T |-> 1 ) = ( t e. T |-> 1 )
6		eqid 2622	. . 3 |- ( t e. T |-> ( ( P ` t ) ^ N ) ) = ( t e. T |-> ( ( P ` t ) ^ N ) )
7		stoweidlem45.9	. . 3 |- ( ph -> P e. A )
8		stoweidlem45.10	. . 3 |- ( ph -> P : T --> RR )
9		stoweidlem45.13	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
10		stoweidlem45.14	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
11		stoweidlem45.15	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
12		stoweidlem45.16	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
13		stoweidlem45.5	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
14		stoweidlem45.6	. . . 4 |- ( ph -> K e. NN )
15	13	nnnn0d 11351	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
16	14, 15	nnexpcld 13030	. . 3 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. NN )
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16	stoweidlem40 40257	. 2 |- ( ph -> Q e. A )
18		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
19	8	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( P ` t ) e. RR )
20	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> N e. NN0 )
21	19, 20	reexpcld 13025	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) e. RR )
22	18, 21	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) e. RR )
23	14	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. NN0 )
24	23, 15	nn0expcld 13031	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. NN0 )
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( K ^ N ) e. NN0 )
26		1m1e0 11089	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
27		stoweidlem45.11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
28	27	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
29	28	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( P ` t ) )
30	28	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( P ` t ) <_ 1 )
31		exple1 12920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 )
32	19, 29, 30, 20, 31	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( P ` t ) ^ N ) <_ 1 )
33	21, 18, 18, 32	lesub2dd 10644	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 - 1 ) <_ ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) )
34	26, 33	syl5eqbrr 4689	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) )
35	22, 25, 34	expge0d 13026	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
36	3, 8, 15, 23	stoweidlem12 40229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( Q ` t ) = ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
37	35, 36	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( Q ` t ) )
38		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 e. RR )
39	19, 20, 29	expge0d 13026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( P ` t ) ^ N ) )
40	38, 21, 18, 39	lesub2dd 10644	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) <_ ( 1 - 0 ) )
41		1m0e1 11131	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 0 ) = 1
42	40, 41	syl6breq 4694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) <_ 1 )
43		exple1 12920	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) /\ ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) <_ 1 ) /\ ( K ^ N ) e. NN0 ) -> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ 1 )
44	22, 34, 42, 25, 43	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) <_ 1 )
45	36, 44	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( Q ` t ) <_ 1 )
46	37, 45	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( Q ` t ) /\ ( Q ` t ) <_ 1 ) )
47	46	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( Q ` t ) /\ ( Q ` t ) <_ 1 ) ) )
48	2, 47	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( Q ` t ) /\ ( Q ` t ) <_ 1 ) )
49		stoweidlem45.3	. . . . 5 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
50		stoweidlem45.7	. . . . 5 |- ( ph -> D e. RR+ )
51		stoweidlem45.17	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
52		stoweidlem45.18	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( K x. D ) / 2 ) ^ N ) ) )
53	49, 3, 8, 15, 23, 50, 51, 52, 27	stoweidlem24 40241	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( Q ` t ) )
54	53	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( t e. V -> ( 1 - E ) < ( Q ` t ) ) )
55	2, 54	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. t e. V ( 1 - E ) < ( Q ` t ) )
56		stoweidlem45.12	. . . . 5 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
57		stoweidlem45.19	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( ( K x. D ) ^ N ) ) < E )
58	3, 13, 14, 50, 8, 27, 56, 51, 57	stoweidlem25 40242	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( Q ` t ) < E )
59	58	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( t e. ( T \ U ) -> ( Q ` t ) < E ) )
60	2, 59	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) ( Q ` t ) < E )
61		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
62	3, 61	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ t Q
63	62	nfeq2 2780	. . . . 5 |- F/ t y = Q
64		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( y = Q -> ( y ` t ) = ( Q ` t ) )
65	64	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( y = Q -> ( 0 <_ ( y ` t ) <-> 0 <_ ( Q ` t ) ) )
66	64	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( y = Q -> ( ( y ` t ) <_ 1 <-> ( Q ` t ) <_ 1 ) )
67	65, 66	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( y = Q -> ( ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( Q ` t ) /\ ( Q ` t ) <_ 1 ) ) )
68	63, 67	ralbid 2983	. . . 4 |- ( y = Q -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( Q ` t ) /\ ( Q ` t ) <_ 1 ) ) )
69	64	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( y = Q -> ( ( 1 - E ) < ( y ` t ) <-> ( 1 - E ) < ( Q ` t ) ) )
70	63, 69	ralbid 2983	. . . 4 |- ( y = Q -> ( A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) <-> A. t e. V ( 1 - E ) < ( Q ` t ) ) )
71	64	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( y = Q -> ( ( y ` t ) < E <-> ( Q ` t ) < E ) )
72	63, 71	ralbid 2983	. . . 4 |- ( y = Q -> ( A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E <-> A. t e. ( T \ U ) ( Q ` t ) < E ) )
73	68, 70, 72	3anbi123d 1399	. . 3 |- ( y = Q -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( Q ` t ) /\ ( Q ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( Q ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( Q ` t ) < E ) ) )
74	73	rspcev 3309	. 2 |- ( ( Q e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( Q ` t ) /\ ( Q ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( Q ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( Q ` t ) < E ) ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )
75	17, 48, 55, 60, 74	syl13anc 1328	1 |- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  stoweidlem49  40266