Theorem stoweidlem54 40271

Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent A in the paper, because here A is used for the subalgebra of functions. E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem54.1	|- F/ i ph
stoweidlem54.2	|- F/ t ph
stoweidlem54.3	|- F/ y ph
stoweidlem54.4	|- F/ w ph
stoweidlem54.5	|- T = U. J
stoweidlem54.6	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem54.7	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
stoweidlem54.8	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) )
stoweidlem54.9	|- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
stoweidlem54.10	|- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem54.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem54.12	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem54.13	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem54.14	|- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem54.15	|- ( ph -> B C_ T )
stoweidlem54.16	|- ( ph -> D C_ U. ran W )
stoweidlem54.17	|- ( ph -> D C_ T )
stoweidlem54.18	|- ( ph -> E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
stoweidlem54.19	|- ( ph -> T e. _V )
stoweidlem54.20	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem54.21	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem54	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, i, t, y, T   A, f, g, h, t, y   B, f, g, i, y   f, E, g, i, y   f, F, g   f, M, g, h, i, t   f, W, g, i   f, Y, g, i   ph, f, g   w, i, t, y, T   D, i, y   x, t, y, A   w, B   w, E   w, M   w, W   w, Y   x, B   x, D   x, E   x, M   x, P   x, T

Allowed substitution hints:   ph( x, y, w, t, e, h, i)   A( w, e, i)   B( t, e, h)   D( w, t, e, f, g, h)   P( y, w, t, e, f, g, h, i)   T( e)   U( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   E( t, e, h)   F( x, y, w, t, e, h, i)   J( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   M( y, e)   V( x, y, w, t, e, f, g, h, i)   W( x, y, t, e, h)   Y( x, y, t, e, h)   Z( x, y, w, t, e, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem54

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem54.3	. . 3 |- F/ y ph
2		nfv 1843	. . 3 |- F/ y E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
3		stoweidlem54.18	. . 3 |- ( ph -> E. y ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
4		stoweidlem54.1	. . . . 5 |- F/ i ph
5		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ i y : ( 1 ... M ) --> Y
6		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ i A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
7	5, 6	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ i ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
8	4, 7	nfan 1828	. . . 4 |- F/ i ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
9		stoweidlem54.2	. . . . 5 |- F/ t ph
10		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ t y
11		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ t ( 1 ... M )
12		stoweidlem54.6	. . . . . . . 8 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
13		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
14		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ t A
15	13, 14	nfrab 3123	. . . . . . . 8 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
16	12, 15	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 |- F/_ t Y
17	10, 11, 16	nff 6041	. . . . . 6 |- F/ t y : ( 1 ... M ) --> Y
18		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M )
19		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t )
20	18, 19	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ t ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
21	11, 20	nfral 2945	. . . . . 6 |- F/ t A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
22	17, 21	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ t ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
23	9, 22	nfan 1828	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
24		stoweidlem54.4	. . . . 5 |- F/ w ph
25		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ w ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
26	24, 25	nfan 1828	. . . 4 |- F/ w ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
27		stoweidlem54.10	. . . . 5 |- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
28		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ w { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
29	27, 28	nfcxfr 2762	. . . 4 |- F/_ w V
30		stoweidlem54.7	. . . 4 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
31		eqid 2622	. . . 4 |- ( seq 1 ( P , y ) ` M ) = ( seq 1 ( P , y ) ` M )
32		stoweidlem54.8	. . . 4 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) )
33		stoweidlem54.9	. . . 4 |- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
34		stoweidlem54.13	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
35	34	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> M e. NN )
36		stoweidlem54.14	. . . . 5 |- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
37	36	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> W : ( 1 ... M ) --> V )
38		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> y : ( 1 ... M ) --> Y )
39		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ w e. V ) -> w e. V )
40	27	rabeq2i 3197	. . . . . 6 |- ( w e. V <-> ( w e. J /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) )
41	40	simplbi 476	. . . . 5 |- ( w e. V -> w e. J )
42		elssuni 4467	. . . . . 6 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
43		stoweidlem54.5	. . . . . 6 |- T = U. J
44	42, 43	syl6sseqr 3652	. . . . 5 |- ( w e. J -> w C_ T )
45	39, 41, 44	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ w e. V ) -> w C_ T )
46		stoweidlem54.16	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ U. ran W )
47	46	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> D C_ U. ran W )
48		stoweidlem54.17	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ T )
49	48	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> D C_ T )
50		stoweidlem54.15	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ T )
51	50	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> B C_ T )
52		r19.26 3064	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
53	52	simplbi 476	. . . . . 6 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
54	53	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
55	54	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
56	52	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
57	56	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... M ) A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
58	57	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
59		stoweidlem54.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
60	59	3adant1r 1319	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
61		stoweidlem54.12	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
62	61	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
63		stoweidlem54.19	. . . . 5 |- ( ph -> T e. _V )
64	63	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> T e. _V )
65		stoweidlem54.20	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
66	65	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E e. RR+ )
67		stoweidlem54.21	. . . . 5 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
68	67	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E < ( 1 / 3 ) )
69	8, 23, 26, 29, 12, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 45, 47, 49, 51, 55, 58, 60, 62, 64, 66, 68	stoweidlem51 40268	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y : ( 1 ... M ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... M ) ( A. t e. ( W ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / M ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
70	1, 2, 3, 69	exlimdd 2088	. 2 |- ( ph -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
71		df-rex 2918	. 2 |- ( E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) <-> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
72	70, 71	sylibr 224	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  40274