Theorem stoweidlem55 40272

Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t₀ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem55.1	|- F/_ t U
stoweidlem55.2	|- F/ t ph
stoweidlem55.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem55.4	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem55.5	|- T = U. J
stoweidlem55.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem55.7	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem55.8	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem55.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem55.10	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem55.11	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem55.12	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem55.13	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem55.14	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem55.15	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem55	|- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, q, t, T   f, r, A, g, q, t   x, f, h, q, t, T   Q, f, g, q   U, f, g, h, q   f, Z, g, h, q, t   ph, f, g, h, q   w, g, h, t, T   g, W   A, h, x   h, J, t, w   q, p, t, T   A, p   U, p   Z, p   x, r, T   U, r, x   ph, r, x   t, K   x, w, Q   w, U   ph, w   x, Z

Allowed substitution hints:   ph( t, p)   A( w)   C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)   Q( t, h, r, p)   U( t)   J( x, f, g, r, q, p)   K( x, w, f, g, h, r, q, p)   W( x, w, t, f, h, r, q, p)   Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem55

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		stoweidlem55.10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
3	2	stoweidlem4 40221	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 e. RR ) -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
4	1, 3	mpan2 707	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
5	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( t e. T |-> 0 ) e. A )
6		stoweidlem55.2	. . . . 5 |- F/ t ph
7		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ t T
8		stoweidlem55.1	. . . . . . 7 |- F/_ t U
9	7, 8	nfdif 3731	. . . . . 6 |- F/_ t ( T \ U )
10		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ t (/)
11	9, 10	nfeq 2776	. . . . 5 |- F/ t ( T \ U ) = (/)
12	6, 11	nfan 1828	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ ( T \ U ) = (/) )
13		0le0 11110	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 0
14		0cn 10032	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
15		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. T |-> 0 ) = ( t e. T |-> 0 )
16	15	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. T /\ 0 e. CC ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) = 0 )
17	14, 16	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( t e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) = 0 )
18	13, 17	syl5breqr 4691	. . . . . . 7 |- ( t e. T -> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
19	18	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
20		0le1 10551	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
21	17, 20	syl6eqbr 4692	. . . . . . 7 |- ( t e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 )
22	21	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 )
23	19, 22	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
24	23	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
25	12, 24	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
26		stoweidlem55.13	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U )
27		stoweidlem55.12	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. J )
28	26, 27	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z e. U /\ U e. J ) )
29		elunii 4441	. . . . . 6 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. U. J )
30		stoweidlem55.5	. . . . . 6 |- T = U. J
31	29, 30	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. T )
32		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( t = Z -> 0 = 0 )
33		c0ex 10034	. . . . . 6 |- 0 e. _V
34	32, 15, 33	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( Z e. T -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
35	28, 31, 34	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
36	35	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 )
37	11	rzalf 39176	. . . 4 |- ( ( T \ U ) = (/) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
38	37	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
39		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ t p
40		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> 0 )
41	39, 40	nfeq 2776	. . . . . 6 |- F/ t p = ( t e. T |-> 0 )
42		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( p ` t ) = ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) )
43	42	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( 0 <_ ( p ` t ) <-> 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
44	42	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( p ` t ) <_ 1 <-> ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) )
45	43, 44	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
46	41, 45	ralbid 2983	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) ) )
47		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( p ` Z ) = ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) )
48	47	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( p ` Z ) = 0 <-> ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 ) )
49	42	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( 0 < ( p ` t ) <-> 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
50	41, 49	ralbid 2983	. . . . 5 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) )
51	46, 48, 50	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( p = ( t e. T |-> 0 ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) ) )
52	51	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( t e. T |-> 0 ) e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) <_ 1 ) /\ ( ( t e. T |-> 0 ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( ( t e. T |-> 0 ) ` t ) ) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
53	5, 25, 36, 38, 52	syl13anc 1328	. 2 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) = (/) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
54	11	nfn 1784	. . . 4 |- F/ t -. ( T \ U ) = (/)
55	6, 54	nfan 1828	. . 3 |- F/ t ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) )
56		stoweidlem55.3	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
57		stoweidlem55.14	. . 3 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
58		stoweidlem55.15	. . 3 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
59		stoweidlem55.6	. . 3 |- C = ( J Cn K )
60		stoweidlem55.4	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
61	60	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> J e. Comp )
62		stoweidlem55.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
63	62	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> A C_ C )
64		stoweidlem55.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
65	64	3adant1r 1319	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
66		stoweidlem55.9	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
67	66	3adant1r 1319	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
68	2	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
69		stoweidlem55.11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
70	69	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
71	27	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> U e. J )
72		neqne 2802	. . . 4 |- ( -. ( T \ U ) = (/) -> ( T \ U ) =/= (/) )
73	72	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> ( T \ U ) =/= (/) )
74	26	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> Z e. U )
75	8, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74	stoweidlem53 40270	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( T \ U ) = (/) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
76	53, 75	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

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