Theorem ltadd2dd 10196

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	|- ( ph -> ( C + A ) < ( C + B ) )

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	ltadd2d 10193	. 2 |- ( ph -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
6	1, 5	mpbid 222	1 |- ( ph -> ( C + A ) < ( C + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-addrcl 9997  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  12324  2tnp1ge0ge0  12630  ccatrn  13372  eirrlem  14932  prmreclem5  15624  iccntr  22624  icccmplem2  22626  ivthlem2  23221  uniioombllem3  23353  opnmbllem  23369  dvcnvre  23782  cosordlem  24277  efif1olem2  24289  atanlogaddlem  24640  pntibndlem2  25280  pntlemr  25291  dya2icoseg  30339  opnmbllem0  33445  binomcxplemdvbinom  38552  zltlesub  39497  supxrge  39554  ltadd12dd  39559  xrralrecnnle  39602  0ellimcdiv  39881  climleltrp  39908  ioodvbdlimc1lem2  40147  stoweidlem11  40228  stoweidlem14  40231  stoweidlem26  40243  stoweidlem44  40261  dirkertrigeqlem3  40317  dirkercncflem1  40320  dirkercncflem2  40321  fourierdlem4  40328  fourierdlem10  40334  fourierdlem28  40352  fourierdlem40  40364  fourierdlem50  40373  fourierdlem57  40380  fourierdlem59  40382  fourierdlem60  40383  fourierdlem61  40384  fourierdlem68  40391  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem78  40401  fourierdlem79  40402  fourierdlem84  40407  fourierdlem93  40416  fourierdlem111  40434  fouriersw  40448  smfaddlem1  40971  smflimlem3  40981