Theorem rphalflt 11860

Description: Half of a positive real is less than the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalflt	|- ( A e. RR+ -> ( A / 2 ) < A )

Proof of Theorem rphalflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 11834	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
2		halfpos 11262	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 0 < A <-> ( A / 2 ) < A ) )
3	2	biimpa 501	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( A / 2 ) < A )
4	1, 3	sylbi 207	1 |- ( A e. RR+ -> ( A / 2 ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  rpltrp  12171  rpnnen2lem11  14953  sqrt2irr  14979  metcnpi3  22351  cfilucfil  22364  reperflem  22621  iccntr  22624  icccmplem2  22626  reconnlem2  22630  cnllycmp  22755  bcthlem5  23125  minveclem3  23200  ivthlem2  23221  lhop1lem  23776  dvcnvre  23782  aaliou  24093  aaliou2b  24096  cosordlem  24277  tanord1  24283  argregt0  24356  argrege0  24357  isosctrlem1  24548  asinsin  24619  asin1  24621  atan1  24655  lgamucov  24764  lgsqrlem2  25072  lgsquadlem2  25106  lgsquadlem3  25107  2sqlem8  25151  chebbnd1lem2  25159  pntibnd  25282  pntlem3  25298  ubthlem1  27726  nmcexi  28885  ftc1anc  33493  isosctrlem1ALT  39170  dstregt0  39493  supxrge  39554  rphalfltd  39684  stoweidlem62  40279  fourierdlem79  40402