Theorem symgfcoeu 29845

Description: Uniqueness property of permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgfcoeu.g	|- G = ( Base ` ( SymGrp ` D ) )

Assertion

Ref	Expression
symgfcoeu	|- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> E! p e. G Q = ( P o. p ) )

Distinct variable groups:   D, p   G, p   P, p   Q, p   V, p

Proof of Theorem symgfcoeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( SymGrp ` D ) = ( SymGrp ` D )
2		symgfcoeu.g	. . . . . 6 |- G = ( Base ` ( SymGrp ` D ) )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( invg ` ( SymGrp ` D ) ) = ( invg ` ( SymGrp ` D ) )
4	1, 2, 3	symginv 17822	. . . . 5 |- ( P e. G -> ( ( invg ` ( SymGrp ` D ) ) ` P ) = `' P )
5	4	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> ( ( invg ` ( SymGrp ` D ) ) ` P ) = `' P )
6	1	symggrp 17820	. . . . . 6 |- ( D e. V -> ( SymGrp ` D ) e. Grp )
7	6	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> ( SymGrp ` D ) e. Grp )
8		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> P e. G )
9	2, 3	grpinvcl 17467	. . . . 5 |- ( ( ( SymGrp ` D ) e. Grp /\ P e. G ) -> ( ( invg ` ( SymGrp ` D ) ) ` P ) e. G )
10	7, 8, 9	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> ( ( invg ` ( SymGrp ` D ) ) ` P ) e. G )
11	5, 10	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> `' P e. G )
12		simp3 1063	. . 3 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> Q e. G )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` ( SymGrp ` D ) ) = ( +g ` ( SymGrp ` D ) )
14	1, 2, 13	symgov 17810	. . . 4 |- ( ( `' P e. G /\ Q e. G ) -> ( `' P ( +g ` ( SymGrp ` D ) ) Q ) = ( `' P o. Q ) )
15	1, 2, 13	symgcl 17811	. . . 4 |- ( ( `' P e. G /\ Q e. G ) -> ( `' P ( +g ` ( SymGrp ` D ) ) Q ) e. G )
16	14, 15	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( `' P e. G /\ Q e. G ) -> ( `' P o. Q ) e. G )
17	11, 12, 16	syl2anc 693	. 2 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> ( `' P o. Q ) e. G )
18		coass 5654	. . . 4 |- ( ( P o. `' P ) o. Q ) = ( P o. ( `' P o. Q ) )
19	1, 2	symgbasf1o 17803	. . . . . 6 |- ( P e. G -> P : D -1-1-onto-> D )
20		f1ococnv2 6163	. . . . . 6 |- ( P : D -1-1-onto-> D -> ( P o. `' P ) = ( _I |` D ) )
21	8, 19, 20	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> ( P o. `' P ) = ( _I |` D ) )
22	21	coeq1d 5283	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> ( ( P o. `' P ) o. Q ) = ( ( _I |` D ) o. Q ) )
23	18, 22	syl5eqr 2670	. . 3 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> ( P o. ( `' P o. Q ) ) = ( ( _I |` D ) o. Q ) )
24	1, 2	symgbasf1o 17803	. . . . 5 |- ( Q e. G -> Q : D -1-1-onto-> D )
25		f1of 6137	. . . . 5 |- ( Q : D -1-1-onto-> D -> Q : D --> D )
26	12, 24, 25	3syl 18	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> Q : D --> D )
27		fcoi2 6079	. . . 4 |- ( Q : D --> D -> ( ( _I |` D ) o. Q ) = Q )
28	26, 27	syl 17	. . 3 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> ( ( _I |` D ) o. Q ) = Q )
29	23, 28	eqtr2d 2657	. 2 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> Q = ( P o. ( `' P o. Q ) ) )
30		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) /\ p e. G ) /\ Q = ( P o. p ) ) -> Q = ( P o. p ) )
31	30	coeq2d 5284	. . . . 5 |- ( ( ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) /\ p e. G ) /\ Q = ( P o. p ) ) -> ( `' P o. Q ) = ( `' P o. ( P o. p ) ) )
32		coass 5654	. . . . . . 7 |- ( ( `' P o. P ) o. p ) = ( `' P o. ( P o. p ) )
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) /\ p e. G ) /\ Q = ( P o. p ) ) -> ( ( `' P o. P ) o. p ) = ( `' P o. ( P o. p ) ) )
34		f1ococnv1 6165	. . . . . . . . 9 |- ( P : D -1-1-onto-> D -> ( `' P o. P ) = ( _I |` D ) )
35	8, 19, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> ( `' P o. P ) = ( _I |` D ) )
36	35	coeq1d 5283	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> ( ( `' P o. P ) o. p ) = ( ( _I |` D ) o. p ) )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) /\ p e. G ) /\ Q = ( P o. p ) ) -> ( ( `' P o. P ) o. p ) = ( ( _I |` D ) o. p ) )
38	33, 37	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) /\ p e. G ) /\ Q = ( P o. p ) ) -> ( `' P o. ( P o. p ) ) = ( ( _I |` D ) o. p ) )
39		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) /\ p e. G ) /\ Q = ( P o. p ) ) -> p e. G )
40	1, 2	symgbasf1o 17803	. . . . . . 7 |- ( p e. G -> p : D -1-1-onto-> D )
41		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( p : D -1-1-onto-> D -> p : D --> D )
42	39, 40, 41	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) /\ p e. G ) /\ Q = ( P o. p ) ) -> p : D --> D )
43		fcoi2 6079	. . . . . 6 |- ( p : D --> D -> ( ( _I |` D ) o. p ) = p )
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) /\ p e. G ) /\ Q = ( P o. p ) ) -> ( ( _I |` D ) o. p ) = p )
45	31, 38, 44	3eqtrrd 2661	. . . 4 |- ( ( ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) /\ p e. G ) /\ Q = ( P o. p ) ) -> p = ( `' P o. Q ) )
46	45	ex 450	. . 3 |- ( ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) /\ p e. G ) -> ( Q = ( P o. p ) -> p = ( `' P o. Q ) ) )
47	46	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> A. p e. G ( Q = ( P o. p ) -> p = ( `' P o. Q ) ) )
48		eqidd 2623	. . . 4 |- ( p = ( `' P o. Q ) -> Q = Q )
49		coeq2 5280	. . . 4 |- ( p = ( `' P o. Q ) -> ( P o. p ) = ( P o. ( `' P o. Q ) ) )
50	48, 49	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( p = ( `' P o. Q ) -> ( Q = ( P o. p ) <-> Q = ( P o. ( `' P o. Q ) ) ) )
51	50	eqreu 3398	. 2 |- ( ( ( `' P o. Q ) e. G /\ Q = ( P o. ( `' P o. Q ) ) /\ A. p e. G ( Q = ( P o. p ) -> p = ( `' P o. Q ) ) ) -> E! p e. G Q = ( P o. p ) )
52	17, 29, 47, 51	syl3anc 1326	1 |- ( ( D e. V /\ P e. G /\ Q e. G ) -> E! p e. G Q = ( P o. p ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  mdetpmtr1  29889