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Theorem mdegmullem 23838
Description: Lemma for mdegmulle2 23839. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegmulle2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegmulle2.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mdegmulle2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mdegmulle2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
mdegmulle2.j1  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
mdegmulle2.k1  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
mdegmulle2.j2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
mdegmulle2.k2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
mdegmullem.a  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
mdegmullem.h  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
Assertion
Ref Expression
mdegmullem  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Distinct variable groups:    I, a,
b    R, b    V, b    A, b
Allowed substitution hints:    ph( a, b)    A( a)    B( a, b)    D( a, b)    R( a)    .x. ( a, b)    F( a, b)    G( a, b)    H( a, b)    J( a, b)    K( a, b)    V( a)    Y( a, b)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables  c 
d  x  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2622 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 19443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  =  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) )
98fveq1d 6193 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
109adantr 481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
11 breq2 4657 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
e  oR  <_ 
c  <->  e  oR  <_  x ) )
1211rabbidv 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  =  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
)
13 oveq1 6657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  x  ->  (
c  oF  -  d )  =  ( x  oF  -  d ) )
1413fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  ( G `  ( c  oF  -  d
) )  =  ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )
1514oveq2d 6666 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( c  oF  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) ) )
1612, 15mpteq12dv 4733 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
c  oF  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) ) ) )
1716oveq2d 6666 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
18 eqid 2622 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) )  =  ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  oF  -  d
) ) ) ) ) )
19 ovex 6678 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 6282 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
2120ad2antrl 764 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  oF  -  d
) ) ) ) ) ) `  x
)  =  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
22 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( I mDeg  R )
23 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
24 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
256ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  ->  F  e.  B )
26 elrabi 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  ->  d  e.  A )
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  d  e.  A )
2827adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
d  e.  A )
2922, 1, 2mdegxrcl 23827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
306, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
3130ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
32 nn0ssre 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  C_  RR
33 ressxr 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
3432, 33sstri 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  C_  RR*
35 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
3634, 35sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  RR* )
3736ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  RR* )
38 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
395, 24tdeglem1 23818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  H : A --> NN0 )
4140ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  H : A --> NN0 )
4241, 27ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  NN0 )
4334, 42sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR* )
4431, 37, 433jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* ) )
4544adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `  d )  e.  RR* ) )
46 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
4746ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  F )  <_  J )
4847anim1i 592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( D `  F
)  <_  J  /\  J  <  ( H `  d ) ) )
4948anasss 679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) ) )
50 xrlelttr 11987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* )  ->  (
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) )  ->  ( D `  F )  <  ( H `  d )
) )
5145, 49, 50sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( D `  F
)  <  ( H `  d ) )
5222, 1, 2, 23, 5, 24, 25, 28, 51mdeglt 23825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( F `  d
)  =  ( 0g
`  R ) )
5352oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
54 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5554ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
56 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
571, 56, 2, 5, 7mplelf 19433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : A --> ( Base `  R ) )
5857ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  G : A --> ( Base `  R
) )
59 ssrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  C_  A
6038ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  I  e.  V )
61 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  x  e.  A )
62 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  d  e.  { e  e.  A  |  e  oR 
<_  x } )
63 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  =  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
645, 63psrbagconcl 19373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A  /\  d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
)  ->  ( x  oF  -  d
)  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x } )
6560, 61, 62, 64syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
x  oF  -  d )  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )
6659, 65sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
x  oF  -  d )  e.  A
)
6758, 66ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( G `  ( x  oF  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)
6856, 3, 23ringlz 18587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  ( x  oF  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
6955, 67, 68syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
7069adantrr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7153, 70eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7271anassrs 680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
737ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  G  e.  B )
7466adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( x  oF  -  d
)  e.  A )
7522, 1, 2mdegxrcl 23827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
767, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
7776ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
78 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
7934, 78sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  RR* )
8079ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  RR* )
8141, 66ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  NN0 )
8234, 81sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  RR* )
8377, 80, 823jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* )
)
8483adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  e.  RR*  /\  K  e. 
RR*  /\  ( H `  ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* ) )
85 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
8685ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  G )  <_  K )
8786anim1i 592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
8887anasss 679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  <_  K  /\  K  < 
( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
89 xrlelttr 11987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  -> 
( D `  G
)  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) )
9084, 88, 89sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( D `  G )  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )
9122, 1, 2, 23, 5, 24, 73, 74, 90mdeglt 23825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( G `  ( x  oF  -  d ) )  =  ( 0g `  R ) )
9291oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( 0g `  R ) ) )
931, 56, 2, 5, 6mplelf 19433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  R ) )
9493ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  F : A --> ( Base `  R
) )
9594, 27ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )
9656, 3, 23ringrz 18588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9755, 95, 96syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9897adantrr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
9992, 98eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
10099anassrs 680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) )  ->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
101 simplrr 801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) )
10242nn0red 11352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR )
10381nn0red 11352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  RR )
10435ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  NN0 )
105104nn0red 11352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  RR )
10678ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  NN0 )
107106nn0red 11352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  RR )
108 le2add 10510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( H `  d )  e.  RR  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  e.  RR )  /\  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( H `
 d )  <_  J  /\  ( H `  ( x  oF  -  d ) )  <_  K )  -> 
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
) ) )
109102, 103, 105, 107, 108syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  <_  ( J  +  K )
) )
1105, 24tdeglem3 23819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  ( x  oF  -  d )  e.  A )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
11160, 27, 66, 110syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
1125psrbagf 19365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
1131123adant3 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
114113ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  NN0 )
115114nn0cnd 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  CC )
1165psrbagf 19365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
1171163adant2 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
118117ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  NN0 )
119118nn0cnd 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  CC )
120115, 119pncan3d 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( d `  b
)  +  ( ( x `  b )  -  ( d `  b ) ) )  =  ( x `  b ) )
121120mpteq2dva 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `  b
)  -  ( d `
 b ) ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( x `  b ) ) )
122 simp1 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  I  e.  V )
123 fvexd 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  _V )
124 ovexd 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( x `  b
)  -  ( d `
 b ) )  e.  _V )
125113feqmptd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d  =  ( b  e.  I  |->  ( d `
 b ) ) )
126 fvexd 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  _V )
127117feqmptd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  =  ( b  e.  I  |->  ( x `
 b ) ) )
128122, 126, 123, 127, 125offval2 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  oF  -  d )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( x `  b )  -  (
d `  b )
) ) )
129122, 123, 124, 125, 128offval2 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `
 b )  -  ( d `  b
) ) ) ) )
130121, 129, 1273eqtr4d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  x )
13160, 27, 61, 130syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  x )
132131fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
133111, 132eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
134133breq1d 4663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
)  <->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K )
) )
135109, 134sylibd 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  ->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K
) ) )
136102, 105lenltd 10183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  <_  J  <->  -.  J  <  ( H `  d
) ) )
137103, 107lenltd 10183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K 
<->  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
138136, 137anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )
139 ioran 511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) )
140138, 139syl6bbr 278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  <->  -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) ) )
14141, 61ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  NN0 )
142141nn0red 11352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  RR )
14335, 78nn0addcld 11355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  NN0 )
144143ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  NN0 )
145144nn0red 11352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  RR )
146142, 145lenltd 10183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  x
)  <_  ( J  +  K )  <->  -.  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )
147135, 140, 1463imtr3d 282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  ->  -.  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )
148101, 147mt4d 152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
14972, 100, 148mpjaodan 827 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
150149mpteq2dva 4744 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( 0g `  R ) ) )
151150oveq2d 6666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) ) )
152 ringmnd 18556 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
15354, 152syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
154153adantr 481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  ->  R  e.  Mnd )
155 ovex 6678 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1565, 155rab2ex 4816 . . . . . . 7  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  e.  _V
15723gsumz 17374 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
158154, 156, 157sylancl 694 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
159151, 158eqtrd 2656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
16010, 21, 1593eqtrd 2660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) )
161160expr 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( J  +  K
)  <  ( H `  x )  ->  (
( F  .x.  G
) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )
162161ralrimiva 2966 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x )  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
1631mplring 19452 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
16438, 54, 163syl2anc 693 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
1652, 4ringcl 18561 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .x.  G )  e.  B )
166164, 6, 7, 165syl3anc 1326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
16734, 143sseldi 3601 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  RR* )
16822, 1, 2, 23, 5, 24mdegleb 23824 . . 3  |-  ( ( ( F  .x.  G
)  e.  B  /\  ( J  +  K
)  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
169166, 167, 168syl2anc 693 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
170162, 169mpbird 247 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 196    \/ wo 383    /\ wa 384    /\ w3a 1037    = wceq 1483    e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653    |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650    oFcof 6895    oRcofr 6896    ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935    + caddc 9939   RR*cxr 10073    < clt 10074    <_ cle 10075    - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100    gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Ringcrg 18547   mPoly cmpl 19353  ℂfldccnfld 19746   mDeg cmdg 23813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815
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