Theorem mdegmullem 23838

Description: Lemma for mdegmulle2 23839. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	|- Y = ( I mPoly R )
mdegaddle.d	|- D = ( I mDeg R )
mdegaddle.i	|- ( ph -> I e. V )
mdegaddle.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mdegmulle2.b	|- B = ( Base ` Y )
mdegmulle2.t	|- .x. = ( .r ` Y )
mdegmulle2.f	|- ( ph -> F e. B )
mdegmulle2.g	|- ( ph -> G e. B )
mdegmulle2.j1	|- ( ph -> J e. NN0 )
mdegmulle2.k1	|- ( ph -> K e. NN0 )
mdegmulle2.j2	|- ( ph -> ( D ` F ) <_ J )
mdegmulle2.k2	|- ( ph -> ( D ` G ) <_ K )
mdegmullem.a	|- A = { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin }
mdegmullem.h	|- H = ( b e. A |-> (ℂfld gsumg b ) )

Assertion

Ref	Expression
mdegmullem	|- ( ph -> ( D ` ( F .x. G ) ) <_ ( J + K ) )

Distinct variable groups:   I, a, b   R, b   V, b   A, b

Allowed substitution hints:   ph( a, b)   A( a)   B( a, b)   D( a, b)   R( a)   .x. ( a, b)   F( a, b)   G( a, b)   H( a, b)   J( a, b)   K( a, b)   V( a)   Y( a, b)

Proof of Theorem mdegmullem

Dummy variables c d x e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . . 8 |- Y = ( I mPoly R )
2		mdegmulle2.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` Y )
3		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4		mdegmulle2.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` Y )
5		mdegmullem.a	. . . . . . . 8 |- A = { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin }
6		mdegmulle2.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. B )
7		mdegmulle2.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. B )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mplmul 19443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F .x. G ) = ( c e. A |-> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ c } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( c oF - d ) ) ) ) ) ) )
9	8	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F .x. G ) ` x ) = ( ( c e. A |-> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ c } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( c oF - d ) ) ) ) ) ) ` x ) )
10	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) -> ( ( F .x. G ) ` x ) = ( ( c e. A |-> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ c } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( c oF - d ) ) ) ) ) ) ` x ) )
11		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( c = x -> ( e oR <_ c <-> e oR <_ x ) )
12	11	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9 |- ( c = x -> { e e. A | e oR <_ c } = { e e. A | e oR <_ x } )
13		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = x -> ( c oF - d ) = ( x oF - d ) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( c = x -> ( G ` ( c oF - d ) ) = ( G ` ( x oF - d ) ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( c = x -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( c oF - d ) ) ) = ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) )
16	12, 15	mpteq12dv 4733	. . . . . . . 8 |- ( c = x -> ( d e. { e e. A | e oR <_ c } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( c oF - d ) ) ) ) = ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) ) )
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( c = x -> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ c } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( c oF - d ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) ) ) )
18		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( c e. A |-> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ c } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( c oF - d ) ) ) ) ) ) = ( c e. A |-> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ c } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( c oF - d ) ) ) ) ) )
19		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) ) ) e. _V
20	17, 18, 19	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( c e. A |-> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ c } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( c oF - d ) ) ) ) ) ) ` x ) = ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) ) ) )
21	20	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) -> ( ( c e. A |-> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ c } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( c oF - d ) ) ) ) ) ) ` x ) = ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) ) ) )
22		mdegaddle.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = ( I mDeg R )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
24		mdegmullem.h	. . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( b e. A |-> (ℂfld gsumg b ) )
25	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ J < ( H ` d ) ) ) -> F e. B )
26		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d e. { e e. A | e oR <_ x } -> d e. A )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> d e. A )
28	27	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ J < ( H ` d ) ) ) -> d e. A )
29	22, 1, 2	mdegxrcl 23827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. B -> ( D ` F ) e. RR* )
30	6, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( D ` F ) e. RR* )
31	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( D ` F ) e. RR* )
32		nn0ssre 11296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 C_ RR
33		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- RR C_ RR*
34	32, 33	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN0 C_ RR*
35		mdegmulle2.j1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> J e. NN0 )
36	34, 35	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> J e. RR* )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> J e. RR* )
38		mdegaddle.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> I e. V )
39	5, 24	tdeglem1 23818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( I e. V -> H : A --> NN0 )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> H : A --> NN0 )
41	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> H : A --> NN0 )
42	41, 27	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( H ` d ) e. NN0 )
43	34, 42	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( H ` d ) e. RR* )
44	31, 37, 43	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( D ` F ) e. RR* /\ J e. RR* /\ ( H ` d ) e. RR* ) )
45	44	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ J < ( H ` d ) ) ) -> ( ( D ` F ) e. RR* /\ J e. RR* /\ ( H ` d ) e. RR* ) )
46		mdegmulle2.j2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( D ` F ) <_ J )
47	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( D ` F ) <_ J )
48	47	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) /\ J < ( H ` d ) ) -> ( ( D ` F ) <_ J /\ J < ( H ` d ) ) )
49	48	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ J < ( H ` d ) ) ) -> ( ( D ` F ) <_ J /\ J < ( H ` d ) ) )
50		xrlelttr 11987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D ` F ) e. RR* /\ J e. RR* /\ ( H ` d ) e. RR* ) -> ( ( ( D ` F ) <_ J /\ J < ( H ` d ) ) -> ( D ` F ) < ( H ` d ) ) )
51	45, 49, 50	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ J < ( H ` d ) ) ) -> ( D ` F ) < ( H ` d ) )
52	22, 1, 2, 23, 5, 24, 25, 28, 51	mdeglt 23825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ J < ( H ` d ) ) ) -> ( F ` d ) = ( 0g ` R ) )
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ J < ( H ` d ) ) ) -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) = ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) )
54		mdegaddle.r	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. Ring )
55	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> R e. Ring )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
57	1, 56, 2, 5, 7	mplelf 19433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G : A --> ( Base ` R ) )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> G : A --> ( Base ` R ) )
59		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { e e. A | e oR <_ x } C_ A
60	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> I e. V )
61		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> x e. A )
62		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> d e. { e e. A | e oR <_ x } )
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { e e. A | e oR <_ x } = { e e. A | e oR <_ x }
64	5, 63	psrbagconcl 19373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. V /\ x e. A /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( x oF - d ) e. { e e. A | e oR <_ x } )
65	60, 61, 62, 64	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( x oF - d ) e. { e e. A | e oR <_ x } )
66	59, 65	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( x oF - d ) e. A )
67	58, 66	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( G ` ( x oF - d ) ) e. ( Base ` R ) )
68	56, 3, 23	ringlz 18587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( G ` ( x oF - d ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) = ( 0g ` R ) )
69	55, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) = ( 0g ` R ) )
70	69	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ J < ( H ` d ) ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) = ( 0g ` R ) )
71	53, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ J < ( H ` d ) ) ) -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) = ( 0g ` R ) )
72	71	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) /\ J < ( H ` d ) ) -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) = ( 0g ` R ) )
73	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) ) -> G e. B )
74	66	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) ) -> ( x oF - d ) e. A )
75	22, 1, 2	mdegxrcl 23827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G e. B -> ( D ` G ) e. RR* )
76	7, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( D ` G ) e. RR* )
77	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( D ` G ) e. RR* )
78		mdegmulle2.k1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> K e. NN0 )
79	34, 78	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. RR* )
80	79	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> K e. RR* )
81	41, 66	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( H ` ( x oF - d ) ) e. NN0 )
82	34, 81	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( H ` ( x oF - d ) ) e. RR* )
83	77, 80, 82	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( D ` G ) e. RR* /\ K e. RR* /\ ( H ` ( x oF - d ) ) e. RR* ) )
84	83	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) ) -> ( ( D ` G ) e. RR* /\ K e. RR* /\ ( H ` ( x oF - d ) ) e. RR* ) )
85		mdegmulle2.k2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( D ` G ) <_ K )
86	85	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( D ` G ) <_ K )
87	86	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) -> ( ( D ` G ) <_ K /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) )
88	87	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) ) -> ( ( D ` G ) <_ K /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) )
89		xrlelttr 11987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D ` G ) e. RR* /\ K e. RR* /\ ( H ` ( x oF - d ) ) e. RR* ) -> ( ( ( D ` G ) <_ K /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) -> ( D ` G ) < ( H ` ( x oF - d ) ) ) )
90	84, 88, 89	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) ) -> ( D ` G ) < ( H ` ( x oF - d ) ) )
91	22, 1, 2, 23, 5, 24, 73, 74, 90	mdeglt 23825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) ) -> ( G ` ( x oF - d ) ) = ( 0g ` R ) )
92	91	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) ) -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) = ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) )
93	1, 56, 2, 5, 6	mplelf 19433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` R ) )
94	93	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> F : A --> ( Base ` R ) )
95	94, 27	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( F ` d ) e. ( Base ` R ) )
96	56, 3, 23	ringrz 18588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( F ` d ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
97	55, 95, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
98	97	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) ) -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
99	92, 98	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ ( d e. { e e. A | e oR <_ x } /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) ) -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) = ( 0g ` R ) )
100	99	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) /\ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) = ( 0g ` R ) )
101		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( J + K ) < ( H ` x ) )
102	42	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( H ` d ) e. RR )
103	81	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( H ` ( x oF - d ) ) e. RR )
104	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> J e. NN0 )
105	104	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> J e. RR )
106	78	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> K e. NN0 )
107	106	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> K e. RR )
108		le2add 10510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( H ` d ) e. RR /\ ( H ` ( x oF - d ) ) e. RR ) /\ ( J e. RR /\ K e. RR ) ) -> ( ( ( H ` d ) <_ J /\ ( H ` ( x oF - d ) ) <_ K ) -> ( ( H ` d ) + ( H ` ( x oF - d ) ) ) <_ ( J + K ) ) )
109	102, 103, 105, 107, 108	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( ( H ` d ) <_ J /\ ( H ` ( x oF - d ) ) <_ K ) -> ( ( H ` d ) + ( H ` ( x oF - d ) ) ) <_ ( J + K ) ) )
110	5, 24	tdeglem3 23819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. V /\ d e. A /\ ( x oF - d ) e. A ) -> ( H ` ( d oF + ( x oF - d ) ) ) = ( ( H ` d ) + ( H ` ( x oF - d ) ) ) )
111	60, 27, 66, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( H ` ( d oF + ( x oF - d ) ) ) = ( ( H ` d ) + ( H ` ( x oF - d ) ) ) )
112	5	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( I e. V /\ d e. A ) -> d : I --> NN0 )
113	112	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) -> d : I --> NN0 )
114	113	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) /\ b e. I ) -> ( d ` b ) e. NN0 )
115	114	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) /\ b e. I ) -> ( d ` b ) e. CC )
116	5	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( I e. V /\ x e. A ) -> x : I --> NN0 )
117	116	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) -> x : I --> NN0 )
118	117	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) /\ b e. I ) -> ( x ` b ) e. NN0 )
119	118	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) /\ b e. I ) -> ( x ` b ) e. CC )
120	115, 119	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) /\ b e. I ) -> ( ( d ` b ) + ( ( x ` b ) - ( d ` b ) ) ) = ( x ` b ) )
121	120	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) -> ( b e. I |-> ( ( d ` b ) + ( ( x ` b ) - ( d ` b ) ) ) ) = ( b e. I |-> ( x ` b ) ) )
122		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) -> I e. V )
123		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) /\ b e. I ) -> ( d ` b ) e. _V )
124		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) /\ b e. I ) -> ( ( x ` b ) - ( d ` b ) ) e. _V )
125	113	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) -> d = ( b e. I |-> ( d ` b ) ) )
126		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) /\ b e. I ) -> ( x ` b ) e. _V )
127	117	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) -> x = ( b e. I |-> ( x ` b ) ) )
128	122, 126, 123, 127, 125	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) -> ( x oF - d ) = ( b e. I |-> ( ( x ` b ) - ( d ` b ) ) ) )
129	122, 123, 124, 125, 128	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) -> ( d oF + ( x oF - d ) ) = ( b e. I |-> ( ( d ` b ) + ( ( x ` b ) - ( d ` b ) ) ) ) )
130	121, 129, 127	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. V /\ d e. A /\ x e. A ) -> ( d oF + ( x oF - d ) ) = x )
131	60, 27, 61, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( d oF + ( x oF - d ) ) = x )
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( H ` ( d oF + ( x oF - d ) ) ) = ( H ` x ) )
133	111, 132	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( H ` d ) + ( H ` ( x oF - d ) ) ) = ( H ` x ) )
134	133	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( ( H ` d ) + ( H ` ( x oF - d ) ) ) <_ ( J + K ) <-> ( H ` x ) <_ ( J + K ) ) )
135	109, 134	sylibd 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( ( H ` d ) <_ J /\ ( H ` ( x oF - d ) ) <_ K ) -> ( H ` x ) <_ ( J + K ) ) )
136	102, 105	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( H ` d ) <_ J <-> -. J < ( H ` d ) ) )
137	103, 107	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( H ` ( x oF - d ) ) <_ K <-> -. K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) )
138	136, 137	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( ( H ` d ) <_ J /\ ( H ` ( x oF - d ) ) <_ K ) <-> ( -. J < ( H ` d ) /\ -. K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) ) )
139		ioran 511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( J < ( H ` d ) \/ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) <-> ( -. J < ( H ` d ) /\ -. K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) )
140	138, 139	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( ( H ` d ) <_ J /\ ( H ` ( x oF - d ) ) <_ K ) <-> -. ( J < ( H ` d ) \/ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) ) )
141	41, 61	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( H ` x ) e. NN0 )
142	141	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( H ` x ) e. RR )
143	35, 78	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( J + K ) e. NN0 )
144	143	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( J + K ) e. NN0 )
145	144	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( J + K ) e. RR )
146	142, 145	lenltd 10183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( H ` x ) <_ ( J + K ) <-> -. ( J + K ) < ( H ` x ) ) )
147	135, 140, 146	3imtr3d 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( -. ( J < ( H ` d ) \/ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) -> -. ( J + K ) < ( H ` x ) ) )
148	101, 147	mt4d 152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( J < ( H ` d ) \/ K < ( H ` ( x oF - d ) ) ) )
149	72, 100, 148	mpjaodan 827	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) /\ d e. { e e. A | e oR <_ x } ) -> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) = ( 0g ` R ) )
150	149	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) -> ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) ) = ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( 0g ` R ) ) )
151	150	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) -> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( 0g ` R ) ) ) )
152		ringmnd 18556	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
153	54, 152	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Mnd )
154	153	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) -> R e. Mnd )
155		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
156	5, 155	rab2ex 4816	. . . . . . 7 |- { e e. A | e oR <_ x } e. _V
157	23	gsumz 17374	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Mnd /\ { e e. A | e oR <_ x } e. _V ) -> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
158	154, 156, 157	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) -> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
159	151, 158	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) -> ( R gsumg ( d e. { e e. A | e oR <_ x } |-> ( ( F ` d ) ( .r ` R ) ( G ` ( x oF - d ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
160	10, 21, 159	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( J + K ) < ( H ` x ) ) ) -> ( ( F .x. G ) ` x ) = ( 0g ` R ) )
161	160	expr 643	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( J + K ) < ( H ` x ) -> ( ( F .x. G ) ` x ) = ( 0g ` R ) ) )
162	161	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ( ( J + K ) < ( H ` x ) -> ( ( F .x. G ) ` x ) = ( 0g ` R ) ) )
163	1	mplring 19452	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. Ring ) -> Y e. Ring )
164	38, 54, 163	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> Y e. Ring )
165	2, 4	ringcl 18561	. . . 4 |- ( ( Y e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( F .x. G ) e. B )
166	164, 6, 7, 165	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( F .x. G ) e. B )
167	34, 143	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> ( J + K ) e. RR* )
168	22, 1, 2, 23, 5, 24	mdegleb 23824	. . 3 |- ( ( ( F .x. G ) e. B /\ ( J + K ) e. RR* ) -> ( ( D ` ( F .x. G ) ) <_ ( J + K ) <-> A. x e. A ( ( J + K ) < ( H ` x ) -> ( ( F .x. G ) ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) )
169	166, 167, 168	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( D ` ( F .x. G ) ) <_ ( J + K ) <-> A. x e. A ( ( J + K ) < ( H ` x ) -> ( ( F .x. G ) ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) )
170	162, 169	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( D ` ( F .x. G ) ) <_ ( J + K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Ringcrg 18547   mPoly cmpl 19353  ℂ_fldccnfld 19746   mDeg cmdg 23813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815

This theorem is referenced by:  mdegmulle2  23839