Theorem tdeglem4 23820

Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	|- A = { m e. ( NN0 ^m I ) | ( `' m " NN ) e. Fin }
tdeglem.h	|- H = ( h e. A |-> (ℂfld gsumg h ) )

Assertion

Ref	Expression
tdeglem4	|- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( ( H ` X ) = 0 <-> X = ( I X. { 0 } ) ) )

Distinct variable groups:   A, h   h, I, m   h, V   h, X, m

Allowed substitution hints:   A( m)   H( h, m)   V( m)

Proof of Theorem tdeglem4

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexnal 2995	. . . . 5 |- ( E. x e. I -. ( X ` x ) = 0 <-> -. A. x e. I ( X ` x ) = 0 )
2		df-ne 2795	. . . . . . 7 |- ( ( X ` x ) =/= 0 <-> -. ( X ` x ) = 0 )
3		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = X -> (ℂfld gsumg h ) = (ℂfld gsumg X ) )
4		tdeglem.h	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( h e. A |-> (ℂfld gsumg h ) )
5		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- (ℂfld gsumg X ) e. _V
6	3, 4, 5	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. A -> ( H ` X ) = (ℂfld gsumg X ) )
7	6	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( H ` X ) = (ℂfld gsumg X ) )
8		tdeglem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A = { m e. ( NN0 ^m I ) | ( `' m " NN ) e. Fin }
9	8	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> X : I --> NN0 )
10	9	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> X = ( y e. I |-> ( X ` y ) ) )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> X = ( y e. I |-> ( X ` y ) ) )
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> (ℂfld gsumg X ) = (ℂfld gsumg ( y e. I |-> ( X ` y ) ) ) )
13		cnfldbas 19750	. . . . . . . . . . 11 |- CC = ( Base ` ℂfld )
14		cnfld0 19770	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
15		cnfldadd 19751	. . . . . . . . . . 11 |- + = ( +g ` ℂfld )
16		cnring 19768	. . . . . . . . . . . 12 |- ℂfld e. Ring
17		ringcmn 18581	. . . . . . . . . . . 12 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ℂfld e. CMnd )
19		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> I e. V )
20	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> X : I --> NN0 )
21	20	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) /\ y e. I ) -> ( X ` y ) e. NN0 )
22	21	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) /\ y e. I ) -> ( X ` y ) e. CC )
23	8	psrbagfsupp 19509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. A /\ I e. V ) -> X finSupp 0 )
24	23	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> X finSupp 0 )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> X finSupp 0 )
26	11, 25	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( y e. I |-> ( X ` y ) ) finSupp 0 )
27		incom 3805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I \ { x } ) i^i { x } ) = ( { x } i^i ( I \ { x } ) )
28		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { x } i^i ( I \ { x } ) ) = (/)
29	27, 28	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I \ { x } ) i^i { x } ) = (/)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( ( I \ { x } ) i^i { x } ) = (/) )
31		difsnid 4341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. I -> ( ( I \ { x } ) u. { x } ) = I )
32	31	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. I -> I = ( ( I \ { x } ) u. { x } ) )
33	32	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> I = ( ( I \ { x } ) u. { x } ) )
34	13, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33	gsumsplit2 18329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> (ℂfld gsumg ( y e. I |-> ( X ` y ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) ) + (ℂfld gsumg ( y e. { x } |-> ( X ` y ) ) ) ) )
35	7, 12, 34	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( H ` X ) = ( (ℂfld gsumg ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) ) + (ℂfld gsumg ( y e. { x } |-> ( X ` y ) ) ) ) )
36		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I e. V -> ( I \ { x } ) e. _V )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( I \ { x } ) e. _V )
38		nn0subm 19801	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 e. (SubMnd ` ℂfld )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> NN0 e. (SubMnd ` ℂfld ) )
40		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( I \ { x } ) -> y e. I )
41		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X : I --> NN0 /\ y e. I ) -> ( X ` y ) e. NN0 )
42	20, 40, 41	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) /\ y e. ( I \ { x } ) ) -> ( X ` y ) e. NN0 )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) = ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) )
44	42, 43	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) : ( I \ { x } ) --> NN0 )
45		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I \ { x } ) e. _V -> ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) e. _V )
46	36, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. V -> ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) e. _V )
47	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) e. _V )
48		funmpt 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Fun ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> Fun ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) )
50		funmpt 5926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Fun ( y e. I |-> ( X ` y ) )
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> Fun ( y e. I |-> ( X ` y ) ) )
52		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I \ { x } ) C_ I
53		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I \ { x } ) C_ I -> ( ( y e. I |-> ( X ` y ) ) |` ( I \ { x } ) ) = ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) )
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. I |-> ( X ` y ) ) |` ( I \ { x } ) ) = ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) )
55		resss 5422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. I |-> ( X ` y ) ) |` ( I \ { x } ) ) C_ ( y e. I |-> ( X ` y ) )
56	54, 55	eqsstr3i 3636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) C_ ( y e. I |-> ( X ` y ) )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) C_ ( y e. I |-> ( X ` y ) ) )
58		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. V -> ( y e. I |-> ( X ` y ) ) e. _V )
59	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( y e. I |-> ( X ` y ) ) e. _V )
60		funsssuppss 7321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun ( y e. I |-> ( X ` y ) ) /\ ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) C_ ( y e. I |-> ( X ` y ) ) /\ ( y e. I |-> ( X ` y ) ) e. _V ) -> ( ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) supp 0 ) C_ ( ( y e. I |-> ( X ` y ) ) supp 0 ) )
61	51, 57, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) supp 0 ) C_ ( ( y e. I |-> ( X ` y ) ) supp 0 ) )
62		fsuppsssupp 8291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) e. _V /\ Fun ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) ) /\ ( ( y e. I |-> ( X ` y ) ) finSupp 0 /\ ( ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) supp 0 ) C_ ( ( y e. I |-> ( X ` y ) ) supp 0 ) ) ) -> ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) finSupp 0 )
63	47, 49, 26, 61, 62	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) finSupp 0 )
64	14, 18, 37, 39, 44, 63	gsumsubmcl 18319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> (ℂfld gsumg ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) ) e. NN0 )
65		ringmnd 18556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
66	16, 65	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ℂfld e. Mnd )
67		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> x e. I )
68	20, 67	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( X ` x ) e. NN0 )
69	68	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( X ` x ) e. CC )
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( X ` y ) = ( X ` x ) )
71	13, 70	gsumsn 18354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (ℂfld e. Mnd /\ x e. I /\ ( X ` x ) e. CC ) -> (ℂfld gsumg ( y e. { x } |-> ( X ` y ) ) ) = ( X ` x ) )
72	66, 67, 69, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> (ℂfld gsumg ( y e. { x } |-> ( X ` y ) ) ) = ( X ` x ) )
73		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( X ` x ) =/= 0 )
74	73, 2	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> -. ( X ` x ) = 0 )
75		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` x ) e. NN0 <-> ( ( X ` x ) e. NN \/ ( X ` x ) = 0 ) )
76	68, 75	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( ( X ` x ) e. NN \/ ( X ` x ) = 0 ) )
77		orel2 398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( X ` x ) = 0 -> ( ( ( X ` x ) e. NN \/ ( X ` x ) = 0 ) -> ( X ` x ) e. NN ) )
78	74, 76, 77	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( X ` x ) e. NN )
79	72, 78	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> (ℂfld gsumg ( y e. { x } |-> ( X ` y ) ) ) e. NN )
80		nn0nnaddcl 11324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (ℂfld gsumg ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) ) e. NN0 /\ (ℂfld gsumg ( y e. { x } |-> ( X ` y ) ) ) e. NN ) -> ( (ℂfld gsumg ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) ) + (ℂfld gsumg ( y e. { x } |-> ( X ` y ) ) ) ) e. NN )
81	64, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) ) + (ℂfld gsumg ( y e. { x } |-> ( X ` y ) ) ) ) e. NN )
82	81	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( y e. ( I \ { x } ) |-> ( X ` y ) ) ) + (ℂfld gsumg ( y e. { x } |-> ( X ` y ) ) ) ) =/= 0 )
83	35, 82	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ ( x e. I /\ ( X ` x ) =/= 0 ) ) -> ( H ` X ) =/= 0 )
84	83	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ x e. I ) -> ( ( X ` x ) =/= 0 -> ( H ` X ) =/= 0 ) )
85	2, 84	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ X e. A ) /\ x e. I ) -> ( -. ( X ` x ) = 0 -> ( H ` X ) =/= 0 ) )
86	85	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( E. x e. I -. ( X ` x ) = 0 -> ( H ` X ) =/= 0 ) )
87	1, 86	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( -. A. x e. I ( X ` x ) = 0 -> ( H ` X ) =/= 0 ) )
88	87	necon4bd 2814	. . 3 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( ( H ` X ) = 0 -> A. x e. I ( X ` x ) = 0 ) )
89		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( X : I --> NN0 -> X Fn I )
90	9, 89	syl 17	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> X Fn I )
91		0nn0 11307	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
92		fnconstg 6093	. . . . . 6 |- ( 0 e. NN0 -> ( I X. { 0 } ) Fn I )
93	91, 92	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( I X. { 0 } ) Fn I )
94		eqfnfv 6311	. . . . 5 |- ( ( X Fn I /\ ( I X. { 0 } ) Fn I ) -> ( X = ( I X. { 0 } ) <-> A. x e. I ( X ` x ) = ( ( I X. { 0 } ) ` x ) ) )
95	90, 93, 94	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( X = ( I X. { 0 } ) <-> A. x e. I ( X ` x ) = ( ( I X. { 0 } ) ` x ) ) )
96		c0ex 10034	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
97	96	fvconst2 6469	. . . . . 6 |- ( x e. I -> ( ( I X. { 0 } ) ` x ) = 0 )
98	97	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( x e. I -> ( ( X ` x ) = ( ( I X. { 0 } ) ` x ) <-> ( X ` x ) = 0 ) )
99	98	ralbiia 2979	. . . 4 |- ( A. x e. I ( X ` x ) = ( ( I X. { 0 } ) ` x ) <-> A. x e. I ( X ` x ) = 0 )
100	95, 99	syl6bb 276	. . 3 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( X = ( I X. { 0 } ) <-> A. x e. I ( X ` x ) = 0 ) )
101	88, 100	sylibrd 249	. 2 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( ( H ` X ) = 0 -> X = ( I X. { 0 } ) ) )
102	8	psrbag0 19494	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( I X. { 0 } ) e. A )
103	102	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( I X. { 0 } ) e. A )
104		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( h = ( I X. { 0 } ) -> (ℂfld gsumg h ) = (ℂfld gsumg ( I X. { 0 } ) ) )
105		ovex 6678	. . . . . 6 |- (ℂfld gsumg ( I X. { 0 } ) ) e. _V
106	104, 4, 105	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( ( I X. { 0 } ) e. A -> ( H ` ( I X. { 0 } ) ) = (ℂfld gsumg ( I X. { 0 } ) ) )
107	103, 106	syl 17	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( H ` ( I X. { 0 } ) ) = (ℂfld gsumg ( I X. { 0 } ) ) )
108		fconstmpt 5163	. . . . . 6 |- ( I X. { 0 } ) = ( x e. I |-> 0 )
109	108	oveq2i 6661	. . . . 5 |- (ℂfld gsumg ( I X. { 0 } ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. I |-> 0 ) )
110	16, 65	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ℂfld e. Mnd
111	14	gsumz 17374	. . . . . . 7 |- ( (ℂfld e. Mnd /\ I e. V ) -> (ℂfld gsumg ( x e. I |-> 0 ) ) = 0 )
112	110, 111	mpan 706	. . . . . 6 |- ( I e. V -> (ℂfld gsumg ( x e. I |-> 0 ) ) = 0 )
113	112	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> (ℂfld gsumg ( x e. I |-> 0 ) ) = 0 )
114	109, 113	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> (ℂfld gsumg ( I X. { 0 } ) ) = 0 )
115	107, 114	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( H ` ( I X. { 0 } ) ) = 0 )
116		fveq2 6191	. . . 4 |- ( X = ( I X. { 0 } ) -> ( H ` X ) = ( H ` ( I X. { 0 } ) ) )
117	116	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( X = ( I X. { 0 } ) -> ( ( H ` X ) = 0 <-> ( H ` ( I X. { 0 } ) ) = 0 ) )
118	115, 117	syl5ibrcom 237	. 2 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( X = ( I X. { 0 } ) -> ( H ` X ) = 0 ) )
119	101, 118	impbid 202	1 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> ( ( H ` X ) = 0 <-> X = ( I X. { 0 } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   NNcn 11020   NN0cn0 11292   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  mdegle0  23837