Theorem tgcgrsub 25404

Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. Theorem 4.3 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	|- P = ( Base ` G )
tgbtwncgr.m	|- .- = ( dist ` G )
tgbtwncgr.i	|- I = (Itv ` G )
tgbtwncgr.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tgbtwncgr.a	|- ( ph -> A e. P )
tgbtwncgr.b	|- ( ph -> B e. P )
tgbtwncgr.c	|- ( ph -> C e. P )
tgbtwncgr.d	|- ( ph -> D e. P )
tgcgrsub.e	|- ( ph -> E e. P )
tgcgrsub.f	|- ( ph -> F e. P )
tgcgrsub.1	|- ( ph -> B e. ( A I C ) )
tgcgrsub.2	|- ( ph -> E e. ( D I F ) )
tgcgrsub.3	|- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
tgcgrsub.4	|- ( ph -> ( B .- C ) = ( E .- F ) )

Assertion

Ref	Expression
tgcgrsub	|- ( ph -> ( A .- B ) = ( D .- E ) )

Proof of Theorem tgcgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. 2 |- P = ( Base ` G )
2		tgbtwncgr.m	. 2 |- .- = ( dist ` G )
3		tgbtwncgr.i	. 2 |- I = (Itv ` G )
4		tgbtwncgr.g	. 2 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5		tgbtwncgr.b	. 2 |- ( ph -> B e. P )
6		tgbtwncgr.a	. 2 |- ( ph -> A e. P )
7		tgcgrsub.e	. 2 |- ( ph -> E e. P )
8		tgbtwncgr.d	. 2 |- ( ph -> D e. P )
9		tgbtwncgr.c	. . 3 |- ( ph -> C e. P )
10		tgcgrsub.f	. . 3 |- ( ph -> F e. P )
11		tgcgrsub.1	. . 3 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
12		tgcgrsub.2	. . 3 |- ( ph -> E e. ( D I F ) )
13		tgcgrsub.3	. . 3 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
14		tgcgrsub.4	. . 3 |- ( ph -> ( B .- C ) = ( E .- F ) )
15	1, 2, 3, 4, 6, 8	tgcgrtriv 25379	. . 3 |- ( ph -> ( A .- A ) = ( D .- D ) )
16	1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 10, 13	tgcgrcomlr 25375	. . 3 |- ( ph -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
17	1, 2, 3, 4, 6, 5, 9, 6, 8, 7, 10, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16	tgifscgr 25403	. 2 |- ( ph -> ( B .- A ) = ( E .- D ) )
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	tgcgrcomlr 25375	1 |- ( ph -> ( A .- B ) = ( D .- E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352

This theorem is referenced by:  legtri3  25485  legbtwn  25489  tgcgrsub2  25490  colmid  25583