Theorem tgifscgr 25403

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, A D C and E H K, with B between A and C and F between E and K. If the other components of the triangles are congruent, then so are B D and F H. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	|- P = ( Base ` G )
tgbtwncgr.m	|- .- = ( dist ` G )
tgbtwncgr.i	|- I = (Itv ` G )
tgbtwncgr.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tgbtwncgr.a	|- ( ph -> A e. P )
tgbtwncgr.b	|- ( ph -> B e. P )
tgbtwncgr.c	|- ( ph -> C e. P )
tgbtwncgr.d	|- ( ph -> D e. P )
tgifscgr.e	|- ( ph -> E e. P )
tgifscgr.f	|- ( ph -> F e. P )
tgifscgr.g	|- ( ph -> K e. P )
tgifscgr.h	|- ( ph -> H e. P )
tgifscgr.1	|- ( ph -> B e. ( A I C ) )
tgifscgr.2	|- ( ph -> F e. ( E I K ) )
tgifscgr.3	|- ( ph -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
tgifscgr.4	|- ( ph -> ( B .- C ) = ( F .- K ) )
tgifscgr.5	|- ( ph -> ( A .- D ) = ( E .- H ) )
tgifscgr.6	|- ( ph -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )

Assertion

Ref	Expression
tgifscgr	|- ( ph -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )

Proof of Theorem tgifscgr

Dummy variables e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. . 3 |- P = ( Base ` G )
2		tgbtwncgr.m	. . 3 |- .- = ( dist ` G )
3		tgbtwncgr.i	. . 3 |- I = (Itv ` G )
4		tgbtwncgr.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
6		tgbtwncgr.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. P )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
8		tgbtwncgr.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. P )
9	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
10		tgifscgr.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. P )
11	10	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> F e. P )
12		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
13		tgifscgr.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. P )
14	13	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> H e. P )
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14	tgldim0cgr 25400	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
16		tgifscgr.6	. . . . 5 |- ( ph -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )
17	16	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )
18	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> G e. TarskiG )
19		tgbtwncgr.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. P )
20	19	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> C e. P )
21	6	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> B e. P )
22		tgifscgr.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> B e. ( A I C ) )
24		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> A = C )
25	24	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( A I C ) = ( C I C ) )
26	23, 25	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> B e. ( C I C ) )
27	1, 2, 3, 18, 20, 21, 26	axtgbtwnid 25365	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> C = B )
28	27	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( C .- D ) = ( B .- D ) )
29		tgifscgr.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. P )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> K e. P )
31	10	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> F e. P )
32		tgifscgr.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( E I K ) )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> F e. ( E I K ) )
34		tgifscgr.e	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. P )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> E e. P )
36		tgbtwncgr.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. P )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> A e. P )
38	24	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( A .- A ) = ( A .- C ) )
39		tgifscgr.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
40	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
41	38, 40	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( E .- K ) = ( A .- A ) )
42	1, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41	axtgcgrid 25362	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> E = K )
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( E I K ) = ( K I K ) )
44	33, 43	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> F e. ( K I K ) )
45	1, 2, 3, 18, 30, 31, 44	axtgbtwnid 25365	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> K = F )
46	45	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( K .- H ) = ( F .- H ) )
47	17, 28, 46	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
48	4	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> G e. TarskiG )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> G e. TarskiG )
50	49	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> G e. TarskiG )
51		simp-4r 807	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> e e. P )
52	19	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> C e. P )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> C e. P )
54	53	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. P )
55	6	ad6antr 772	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> B e. P )
56		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> f e. P )
57	29	ad4antr 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> K e. P )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. P )
59	10	ad6antr 772	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> F e. P )
60	8	ad6antr 772	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> D e. P )
61	13	ad6antr 772	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> H e. P )
62		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) )
63	62	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C =/= e )
64	63	necomd 2849	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> e =/= C )
65	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> A e. P )
66	65	ad4antr 768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> A e. P )
67	22	ad6antr 772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> B e. ( A I C ) )
68	62	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. ( A I e ) )
69	1, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68	tgbtwnexch3 25389	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. ( B I e ) )
70	1, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69	tgbtwncom 25383	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. ( e I B ) )
71	34	ad6antr 772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> E e. P )
72	32	ad6antr 772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> F e. ( E I K ) )
73		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. ( E I f ) )
74	1, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73	tgbtwnexch3 25389	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. ( F I f ) )
75	1, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74	tgbtwncom 25383	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. ( f I F ) )
76		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( K .- f ) = ( C .- e ) )
77	76	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C .- e ) = ( K .- f ) )
78	1, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77	tgcgrcomlr 25375	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( e .- C ) = ( f .- K ) )
79		tgifscgr.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B .- C ) = ( F .- K ) )
80	79	ad6antr 772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( B .- C ) = ( F .- K ) )
81	1, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80	tgcgrcomlr 25375	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C .- B ) = ( K .- F ) )
82		simp-5r 809	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> A =/= C )
83	39	ad6antr 772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
84		tgifscgr.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A .- D ) = ( E .- H ) )
85	84	ad6antr 772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( A .- D ) = ( E .- H ) )
86	16	ad6antr 772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )
87	1, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86	axtg5seg 25364	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( e .- D ) = ( f .- H ) )
88	1, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86	axtg5seg 25364	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
89	34	ad4antr 768	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> E e. P )
90		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> e e. P )
91	1, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90	axtgsegcon 25363	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> E. f e. P ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) )
92	88, 91	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
93		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
94	1, 2, 3, 48, 65, 52, 93	tgbtwndiff 25401	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> E. e e. P ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) )
95	92, 94	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
96	47, 95	pm2.61dane 2881	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
97	1, 36	tgldimor 25397	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
98	15, 96, 97	mpjaodan 827	1 |- ( ph -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   <_ cle 10075   2c2 11070   #chash 13117   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352

This theorem is referenced by:  tgcgrsub  25404  tgbtwnxfr  25425  tgfscgr  25463  tgbtwnconn1lem3  25469  miriso  25565  krippenlem  25585  midexlem  25587  colperpexlem1  25622  opphllem  25627