MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdim01 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem tgdim01 25402
Description: In geometries of dimension lower than 2, all points are colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgdim01.p |- P = ( Base ` G )
tgdim01.i |- I = (Itv ` G )
tgdim01.g |- ( ph -> G e. V )
tgdim01.1 |- ( ph -> -. GDimTarskiG≥ 2 )
tgdim01.x |- ( ph -> X e. P )
tgdim01.y |- ( ph -> Y e. P )
tgdim01.z |- ( ph -> Z e. P )
Assertion
Ref Expression
tgdim01 |- ( ph -> ( Z e. ( X I Y ) \/ X e. ( Z I Y ) \/ Y e. ( X I Z ) ) )
Proof of Theorem tgdim01
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgdim01.x . 2 |- ( ph -> X e. P )
2 tgdim01.y . 2 |- ( ph -> Y e. P )
3 tgdim01.z . 2 |- ( ph -> Z e. P )
4 tgdim01.1 . . . 4 |- ( ph -> -. GDimTarskiG≥ 2 )
5 tgdim01.g . . . . 5 |- ( ph -> G e. V )
6 tgdim01.p . . . . . 6 |- P = ( Base ` G )
7 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
8 tgdim01.i . . . . . 6 |- I = (Itv ` G )
96, 7, 8istrkg2ld 25359 . . . . 5 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
105, 9syl 17 . . . 4 |- ( ph -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
114, 10mtbid 314 . . 3 |- ( ph -> -. E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
12 rexnal2 3043 . . . . . 6 |- ( E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> -. A. y e. P A. z e. P ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
1312rexbii 3041 . . . . 5 |- ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> E. x e. P -. A. y e. P A. z e. P ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
14 rexnal 2995 . . . . 5 |- ( E. x e. P -. A. y e. P A. z e. P ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> -. A. x e. P A. y e. P A. z e. P ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
1513, 14bitri 264 . . . 4 |- ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> -. A. x e. P A. y e. P A. z e. P ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
1615con2bii 347 . . 3 |- ( A. x e. P A. y e. P A. z e. P ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> -. E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
1711, 16sylibr 224 . 2 |- ( ph -> A. x e. P A. y e. P A. z e. P ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
18 oveq1 6657 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( x I y ) = ( X I y ) )
1918eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( x = X -> ( z e. ( x I y ) <-> z e. ( X I y ) ) )
20 eleq1 2689 . . . . 5 |- ( x = X -> ( x e. ( z I y ) <-> X e. ( z I y ) ) )
21 oveq1 6657 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( x I z ) = ( X I z ) )
2221eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( x = X -> ( y e. ( x I z ) <-> y e. ( X I z ) ) )
2319, 20, 223orbi123d 1398 . . . 4 |- ( x = X -> ( ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> ( z e. ( X I y ) \/ X e. ( z I y ) \/ y e. ( X I z ) ) ) )
24 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( y = Y -> ( X I y ) = ( X I Y ) )
2524eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( y = Y -> ( z e. ( X I y ) <-> z e. ( X I Y ) ) )
26 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( y = Y -> ( z I y ) = ( z I Y ) )
2726eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( y = Y -> ( X e. ( z I y ) <-> X e. ( z I Y ) ) )
28 eleq1 2689 . . . . 5 |- ( y = Y -> ( y e. ( X I z ) <-> Y e. ( X I z ) ) )
2925, 27, 283orbi123d 1398 . . . 4 |- ( y = Y -> ( ( z e. ( X I y ) \/ X e. ( z I y ) \/ y e. ( X I z ) ) <-> ( z e. ( X I Y ) \/ X e. ( z I Y ) \/ Y e. ( X I z ) ) ) )
30 eleq1 2689 . . . . 5 |- ( z = Z -> ( z e. ( X I Y ) <-> Z e. ( X I Y ) ) )
31 oveq1 6657 . . . . . 6 |- ( z = Z -> ( z I Y ) = ( Z I Y ) )
3231eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( z = Z -> ( X e. ( z I Y ) <-> X e. ( Z I Y ) ) )
33 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( z = Z -> ( X I z ) = ( X I Z ) )
3433eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( z = Z -> ( Y e. ( X I z ) <-> Y e. ( X I Z ) ) )
3530, 32, 343orbi123d 1398 . . . 4 |- ( z = Z -> ( ( z e. ( X I Y ) \/ X e. ( z I Y ) \/ Y e. ( X I z ) ) <-> ( Z e. ( X I Y ) \/ X e. ( Z I Y ) \/ Y e. ( X I Z ) ) ) )
3623, 29, 35rspc3v 3325 . . 3 |- ( ( X e. P /\ Y e. P /\ Z e. P ) -> ( A. x e. P A. y e. P A. z e. P ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> ( Z e. ( X I Y ) \/ X e. ( Z I Y ) \/ Y e. ( X I Z ) ) ) )
3736imp 445 . 2 |- ( ( ( X e. P /\ Y e. P /\ Z e. P ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> ( Z e. ( X I Y ) \/ X e. ( Z I Y ) \/ Y e. ( X I Z ) ) )
381, 2, 3, 17, 37syl31anc 1329 1 |- ( ph -> ( Z e. ( X I Y ) \/ X e. ( Z I Y ) \/ Y e. ( X I Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   2c2 11070   Basecbs 15857   distcds 15950  DimTarskiG≥cstrkgld 25333  Itvcitv 25335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-trkgld 25351
This theorem is referenced by:  tgdim01ln  25459
  Copyright terms: Public domain W3C validator