Theorem tglineeltr 25526

Description: Transitivity law for lines, one half of tglineelsb2 25527. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	|- B = ( Base ` G )
tglineelsb2.i	|- I = (Itv ` G )
tglineelsb2.l	|- L = (LineG ` G )
tglineelsb2.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tglineelsb2.1	|- ( ph -> P e. B )
tglineelsb2.2	|- ( ph -> Q e. B )
tglineelsb2.4	|- ( ph -> P =/= Q )
tglineelsb2.3	|- ( ph -> S e. B )
tglineelsb2.5	|- ( ph -> S =/= P )
tglineelsb2.6	|- ( ph -> S e. ( P L Q ) )
tglineeltr.7	|- ( ph -> R e. B )
tglineeltr.8	|- ( ph -> R e. ( P L S ) )

Assertion

Ref	Expression
tglineeltr	|- ( ph -> R e. ( P L Q ) )

Proof of Theorem tglineeltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineeltr.7	. . . 4 |- ( ph -> R e. B )
2		tglineelsb2.p	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
3		tglineelsb2.l	. . . . . . 7 |- L = (LineG ` G )
4		tglineelsb2.i	. . . . . . 7 |- I = (Itv ` G )
5		tglineelsb2.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. TarskiG )
6	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> G e. TarskiG )
7		tglineelsb2.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. B )
8	7	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> P e. B )
9		tglineelsb2.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q e. B )
10	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> Q e. B )
11		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> R e. B )
12		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
13		tglineelsb2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. B )
14	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> S e. B )
15		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> R e. ( P I S ) )
16		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> S e. ( P I Q ) )
17	2, 12, 4, 6, 8, 11, 14, 10, 15, 16	tgbtwnexch 25393	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> R e. ( P I Q ) )
18	2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 17	btwncolg1 25450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
19	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> G e. TarskiG )
20	7	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> P e. B )
21	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> Q e. B )
22		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> R e. B )
23	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> S e. B )
24		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> R e. ( P I S ) )
25	2, 12, 4, 19, 20, 22, 23, 24	tgbtwncom 25383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> R e. ( S I P ) )
26		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> P e. ( S I Q ) )
27	2, 12, 4, 19, 23, 22, 20, 21, 25, 26	tgbtwnexch3 25389	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> P e. ( R I Q ) )
28	2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 27	btwncolg2 25451	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
29	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> G e. TarskiG )
30	7	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> P e. B )
31		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> R e. B )
32	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> Q e. B )
33	13	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> S e. B )
34		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> R e. ( P I S ) )
35		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> Q e. ( P I S ) )
36	2, 4, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 3	tgbtwnconnln3 25473	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
37		tglineelsb2.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. ( P L Q ) )
38		tglineelsb2.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P =/= Q )
39	2, 3, 4, 5, 7, 9, 38, 13	tgellng 25448	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S e. ( P L Q ) <-> ( S e. ( P I Q ) \/ P e. ( S I Q ) \/ Q e. ( P I S ) ) ) )
40	37, 39	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. ( P I Q ) \/ P e. ( S I Q ) \/ Q e. ( P I S ) ) )
41	40	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) -> ( S e. ( P I Q ) \/ P e. ( S I Q ) \/ Q e. ( P I S ) ) )
42	18, 28, 36, 41	mpjao3dan 1395	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P I S ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
43	42	an32s 846	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ R e. ( P I S ) ) /\ R e. B ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
44	1, 43	mpidan 704	. . 3 |- ( ( ph /\ R e. ( P I S ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
45	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> G e. TarskiG )
46	7	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> P e. B )
47	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> Q e. B )
48		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> R e. B )
49	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> S e. B )
50		tglineelsb2.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S =/= P )
51	50	necomd 2849	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P =/= S )
52	51	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> P =/= S )
53		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> P e. ( R I S ) )
54		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> S e. ( P I Q ) )
55	2, 12, 4, 45, 48, 46, 49, 47, 52, 53, 54	tgbtwnouttr 25392	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> P e. ( R I Q ) )
56	2, 3, 4, 45, 46, 47, 48, 55	btwncolg2 25451	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
57	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> G e. TarskiG )
58	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> Q e. B )
59		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> R e. B )
60	7	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> P e. B )
61	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> S e. B )
62	50	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> S =/= P )
63		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> P e. ( S I Q ) )
64		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> P e. ( R I S ) )
65	2, 12, 4, 57, 59, 60, 61, 64	tgbtwncom 25383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> P e. ( S I R ) )
66	2, 4, 57, 61, 60, 58, 59, 3, 62, 63, 65	tgbtwnconnln2 25476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> ( P e. ( Q L R ) \/ Q = R ) )
67	2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 66	colrot2 25455	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
68	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> G e. TarskiG )
69	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> Q e. B )
70	7	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> P e. B )
71		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> R e. B )
72	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> S e. B )
73		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> Q e. ( P I S ) )
74		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> P e. ( R I S ) )
75	2, 12, 4, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74	tgbtwnintr 25388	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> P e. ( Q I R ) )
76	2, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 75	btwncolg3 25452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> ( R e. ( Q L P ) \/ Q = P ) )
77	2, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 76	colcom 25453	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
78	40	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) -> ( S e. ( P I Q ) \/ P e. ( S I Q ) \/ Q e. ( P I S ) ) )
79	56, 67, 77, 78	mpjao3dan 1395	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ P e. ( R I S ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
80	79	an32s 846	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ P e. ( R I S ) ) /\ R e. B ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
81	1, 80	mpidan 704	. . 3 |- ( ( ph /\ P e. ( R I S ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
82	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> G e. TarskiG )
83	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> Q e. B )
84		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> R e. B )
85	7	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> P e. B )
86	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> S e. B )
87	51	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> P =/= S )
88		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> S e. ( P I Q ) )
89		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> S e. ( P I R ) )
90	2, 4, 82, 85, 86, 83, 84, 3, 87, 88, 89	tgbtwnconnln1 25475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> ( P e. ( Q L R ) \/ Q = R ) )
91	2, 3, 4, 82, 83, 84, 85, 90	colrot2 25455	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ S e. ( P I Q ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
92	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> G e. TarskiG )
93	7	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> P e. B )
94	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> Q e. B )
95		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> R e. B )
96	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> S e. B )
97	50	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> S =/= P )
98		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> S e. ( P I R ) )
99	2, 12, 4, 92, 93, 96, 95, 98	tgbtwncom 25383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> S e. ( R I P ) )
100		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> P e. ( S I Q ) )
101	2, 12, 4, 92, 95, 96, 93, 94, 97, 99, 100	tgbtwnouttr2 25390	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> P e. ( R I Q ) )
102	2, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 101	btwncolg2 25451	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ P e. ( S I Q ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
103	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> G e. TarskiG )
104	7	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> P e. B )
105	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> Q e. B )
106		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> R e. B )
107	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> S e. B )
108		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> Q e. ( P I S ) )
109		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> S e. ( P I R ) )
110	2, 12, 4, 103, 104, 105, 107, 106, 108, 109	tgbtwnexch 25393	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> Q e. ( P I R ) )
111	2, 3, 4, 103, 104, 105, 106, 110	btwncolg3 25452	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) /\ Q e. ( P I S ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
112	40	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) -> ( S e. ( P I Q ) \/ P e. ( S I Q ) \/ Q e. ( P I S ) ) )
113	91, 102, 111, 112	mpjao3dan 1395	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ S e. ( P I R ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
114	113	an32s 846	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ S e. ( P I R ) ) /\ R e. B ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
115	1, 114	mpidan 704	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. ( P I R ) ) -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
116		id 22	. . . 4 |- ( ph -> ph )
117		tglineeltr.8	. . . 4 |- ( ph -> R e. ( P L S ) )
118	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R e. B ) -> G e. TarskiG )
119	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R e. B ) -> P e. B )
120	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R e. B ) -> S e. B )
121	51	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R e. B ) -> P =/= S )
122		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R e. B ) -> R e. B )
123	2, 3, 4, 118, 119, 120, 121, 122	tgellng 25448	. . . . 5 |- ( ( ph /\ R e. B ) -> ( R e. ( P L S ) <-> ( R e. ( P I S ) \/ P e. ( R I S ) \/ S e. ( P I R ) ) ) )
124	123	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ R e. B ) /\ R e. ( P L S ) ) -> ( R e. ( P I S ) \/ P e. ( R I S ) \/ S e. ( P I R ) ) )
125	116, 1, 117, 124	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ph -> ( R e. ( P I S ) \/ P e. ( R I S ) \/ S e. ( P I R ) ) )
126	44, 81, 115, 125	mpjao3dan 1395	. 2 |- ( ph -> ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) )
127	38	neneqd 2799	. 2 |- ( ph -> -. P = Q )
128		pm5.61 749	. . 3 |- ( ( ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) /\ -. P = Q ) <-> ( R e. ( P L Q ) /\ -. P = Q ) )
129	128	simplbi 476	. 2 |- ( ( ( R e. ( P L Q ) \/ P = Q ) /\ -. P = Q ) -> R e. ( P L Q ) )
130	126, 127, 129	syl2anc 693	1 |- ( ph -> R e. ( P L Q ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406

This theorem is referenced by:  tglineelsb2  25527  colperpexlem3  25624  mideulem2  25626