Theorem tsmsid 21943

Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	|- B = ( Base ` G )
tsmsid.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tsmsid.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmsid.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmsid.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmsid.f	|- ( ph -> F : A --> B )
tsmsid.w	|- ( ph -> F finSupp .0. )

Assertion

Ref	Expression
tsmsid	|- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G tsums F ) )

Proof of Theorem tsmsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TopSp )
2		tsmsid.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
4	2, 3	istps 20738	. . . . . 6 |- ( G e. TopSp <-> ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) )
5	1, 4	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) )
6		topontop 20718	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) -> ( TopOpen ` G ) e. Top )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( TopOpen ` G ) e. Top )
8		tsmsid.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
9		tsmsid.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. CMnd )
10		tsmsid.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. V )
11		tsmsid.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> B )
12		tsmsid.w	. . . . . . 7 |- ( ph -> F finSupp .0. )
13	2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumcl 18316	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. B )
14	13	snssd 4340	. . . . 5 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ B )
15		toponuni 20719	. . . . . 6 |- ( ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) -> B = U. ( TopOpen ` G ) )
16	5, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> B = U. ( TopOpen ` G ) )
17	14, 16	sseqtrd 3641	. . . 4 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ U. ( TopOpen ` G ) )
18		eqid 2622	. . . . 5 |- U. ( TopOpen ` G ) = U. ( TopOpen ` G )
19	18	sscls 20860	. . . 4 |- ( ( ( TopOpen ` G ) e. Top /\ { ( G gsumg F ) } C_ U. ( TopOpen ` G ) ) -> { ( G gsumg F ) } C_ ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
20	7, 17, 19	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
21		ovex 6678	. . . 4 |- ( G gsumg F ) e. _V
22	21	snss 4316	. . 3 |- ( ( G gsumg F ) e. ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) <-> { ( G gsumg F ) } C_ ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
23	20, 22	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
24	2, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3	tsmsgsum 21942	. 2 |- ( ph -> ( G tsums F ) = ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
25	23, 24	eleqtrrd 2704	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G tsums F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   TopSpctps 20736   clsccl 20822   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  haustsmsid  21944  tsms0  21945  tayl0  24116  esumgsum  30107