Theorem tsmsgsum 21942

Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	|- B = ( Base ` G )
tsmsid.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tsmsid.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmsid.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmsid.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmsid.f	|- ( ph -> F : A --> B )
tsmsid.w	|- ( ph -> F finSupp .0. )
tsmsgsum.j	|- J = ( TopOpen ` G )

Assertion

Ref	Expression
tsmsgsum	|- ( ph -> ( G tsums F ) = ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) )

Proof of Theorem tsmsgsum

Dummy variables y z u x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. TopSp )
2		tsmsid.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
3		tsmsgsum.j	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` G )
4	2, 3	istps 20738	. . . . . . 7 |- ( G e. TopSp <-> J e. (TopOn ` B ) )
5	1, 4	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` B ) )
6		toponuni 20719	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> B = U. J )
8	7	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. U. J ) )
9		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y C_ A /\ y e. Fin ) )
10	9	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
12		suppssdm 7308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F supp .0. ) C_ dom F
13		tsmsid.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : A --> B )
14		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom F = A )
16	12, 15	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ A )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F supp .0. ) C_ A )
18	11, 17	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) C_ A )
19	9	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
21		tsmsid.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F finSupp .0. )
22	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F finSupp .0. )
23	22	fsuppimpd 8282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F supp .0. ) e. Fin )
24		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Fin /\ ( F supp .0. ) e. Fin ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) e. Fin )
25	20, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) e. Fin )
26		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y u. ( F supp .0. ) ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( y u. ( F supp .0. ) ) C_ A /\ ( y u. ( F supp .0. ) ) e. Fin ) )
27	18, 25, 26	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y u. ( F supp .0. ) ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
28		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y C_ ( y u. ( F supp .0. ) )
29		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> z = ( y u. ( F supp .0. ) ) )
30	28, 29	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> y C_ z )
31		pm5.5 351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y C_ z -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
33		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( F |` z ) = ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) )
34	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) )
35	34	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u <-> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
36	32, 35	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y u. ( F supp .0. ) ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
37	36	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. ( F supp .0. ) ) e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
38	27, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u ) )
39		tsmsid.z	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( 0g ` G )
40		tsmsid.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. CMnd )
41	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> G e. CMnd )
42		tsmsid.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. V )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A e. V )
44	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : A --> B )
45		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F supp .0. ) C_ ( y u. ( F supp .0. ) )
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F supp .0. ) C_ ( y u. ( F supp .0. ) ) )
47	2, 39, 41, 43, 44, 46, 22	gsumres 18314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsumg F ) )
48	47	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. ( F supp .0. ) ) ) ) e. u <-> ( G gsumg F ) e. u ) )
49	38, 48	sylibd 229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg F ) e. u ) )
50	49	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg F ) e. u ) )
51	21	fsuppimpd 8282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F supp .0. ) e. Fin )
52		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( F supp .0. ) C_ A /\ ( F supp .0. ) e. Fin ) )
53	16, 51, 52	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) -> ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
55	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> G e. CMnd )
56	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> A e. V )
57	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> F : A --> B )
58		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( F supp .0. ) C_ z )
59	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> F finSupp .0. )
60	2, 39, 55, 56, 57, 58, 59	gsumres 18314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) = ( G gsumg F ) )
61		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( G gsumg F ) e. u )
62	60, 61	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( F supp .0. ) C_ z ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u )
63	62	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
64	63	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) -> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
65		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F supp .0. ) -> ( y C_ z <-> ( F supp .0. ) C_ z ) )
66	65	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F supp .0. ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
67	66	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F supp .0. ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
68	67	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F supp .0. ) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( F supp .0. ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
69	54, 64, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ ( G gsumg F ) e. u ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
70	69	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( ( G gsumg F ) e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
71	50, 70	impbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg F ) e. u ) )
72		disjsn 4246	. . . . . . . 8 |- ( ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) = (/) <-> -. ( G gsumg F ) e. u )
73	72	necon2abii 2844	. . . . . . 7 |- ( ( G gsumg F ) e. u <-> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) )
74	71, 73	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) )
75	74	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) <-> ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) )
76	75	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ph -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) )
77	8, 76	anbi12d 747	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) <-> ( x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) ) )
78		eqid 2622	. . . 4 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
79	2, 3, 78, 40, 1, 42, 13	eltsms 21936	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> ( x e. B /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) ) )
80		topontop 20718	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
81	5, 80	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> J e. Top )
82	2, 39, 40, 42, 13, 21	gsumcl 18316	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. B )
83	82	snssd 4340	. . . . 5 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ B )
84	83, 7	sseqtrd 3641	. . . 4 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ U. J )
85		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
86	85	elcls2 20878	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ { ( G gsumg F ) } C_ U. J ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) <-> ( x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) ) )
87	81, 84, 86	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) <-> ( x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> ( u i^i { ( G gsumg F ) } ) =/= (/) ) ) ) )
88	77, 79, 87	3bitr4d 300	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> x e. ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) ) )
89	88	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> ( G tsums F ) = ( ( cls ` J ) ` { ( G gsumg F ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   TopSpctps 20736   clsccl 20822   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  tsmsid  21943  tgptsmscls  21953