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Theorem ttgval 25755

Description: Define a function to augment a subcomplex Hilbert space with betweenness and a line definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ttgval.n	toTG
ttgval.b
ttgval.m
ttgval.s
ttgval.i	Itv

**Assertion**
Ref	Expression
ttgval	sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem ttgval Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttgval.n	. . . . 5 toTG
2	1	a1i 11	. . . 4 toTG
3		elex 3212	. . . . 5
4		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
5		ttgval.b	. . . . . . . . . 10
6	4, 5	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
8		ttgval.m	. . . . . . . . . . . . . 14
9	7, 8	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13
10	9	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
12		ttgval.s	. . . . . . . . . . . . . 14
13	11, 12	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13
14		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13
15	9	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13
16	13, 14, 15	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . 12
17	10, 16	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11
18	17	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10
19	6, 18	rabeqbidv 3195	. . . . . . . . 9
20	6, 6, 19	mpt2eq123dv 6717	. . . . . . . 8
21	20	csbeq1d 3540	. . . . . . 7 sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$ sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
22		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 sSet Itv sSet Itv
23		rabeq 3192	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
25	6, 6, 24	mpt2eq123dv 6717	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
26	25	opeq2d 4409	. . . . . . . . 9 LineG $\/$ $\/$ LineG $\/$ $\/$
27	22, 26	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$ sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
28	27	csbeq2dv 3992	. . . . . . 7 sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$ sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
29	21, 28	eqtrd 2656	. . . . . 6 sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$ sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
30		df-ttg 25754	. . . . . 6 toTG sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
31		ovex 6678	. . . . . . 7 sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
32	31	csbex 4793	. . . . . 6 sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
33	29, 30, 32	fvmpt 6282	. . . . 5 toTG sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
34	3, 33	syl 17	. . . 4 toTG sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
35		fvex 6201	. . . . . . . 8
36	5, 35	eqeltri 2697	. . . . . . 7
37	36, 36	mpt2ex 7247	. . . . . 6
38	37	a1i 11	. . . . 5
39		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$
40		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
41		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
43	40, 42	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10
44	43	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9
45	44	rabbidv 3189	. . . . . . . 8
46		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
48	47	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11
49	48	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10
50	49	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9
51		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
52	51	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11
53	52	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10
54	53	cbvrabv 3199	. . . . . . . . 9
55	50, 54	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
56	45, 55	cbvmpt2v 6735	. . . . . . 7
57	39, 56	syl6eqr 2674	. . . . . 6 $/\$
58		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$
59	58, 56	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 $/\$
60	59	opeq2d 4409	. . . . . . . 8 $/\$ Itv Itv
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ sSet Itv sSet Itv
62	59	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	62	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 $/\$
64	59	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	64	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 $/\$
66	59	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	66	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	63, 65, 67	3orbi123d 1398	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
69	68	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
70	69	mpt2eq3dv 6721	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
71	70	opeq2d 4409	. . . . . . 7 $/\$ LineG $\/$ $\/$ LineG $\/$ $\/$
72	61, 71	oveq12d 6668	. . . . . 6 $/\$ sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$ sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
73	57, 72	syldan 487	. . . . 5 $/\$ sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$ sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
74	38, 73	csbied 3560	. . . 4 sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$ sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
75	2, 34, 74	3eqtrd 2660	. . 3 sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
76	75	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 Itv Itv sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
77		itvid 25341	. . . . . . . . . . . . 13 Itv Slot Itv
78		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
79		6nn 11189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
80	78, 79	decnncl 11518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
81	80	nnrei 11029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
82		6nn0 11313	. . . . . . . . . . . . . . . 16
83		7nn 11190	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84		6lt7 11209	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85	78, 82, 83, 84	declt 11530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ; ;
86	81, 85	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . . 14 ; ;
87		itvndx 25339	. . . . . . . . . . . . . . 15 Itv ;
88		lngndx 25340	. . . . . . . . . . . . . . 15 LineG ;
89	87, 88	neeq12i 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 Itv LineG ; ;
90	86, 89	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . 13 Itv LineG
91	77, 90	setsnid 15915	. . . . . . . . . . . 12 Itv sSet Itv Itv sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
92	76, 91	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 Itv Itv sSet Itv
93		ttgval.i	. . . . . . . . . . . 12 Itv
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 Itv
95	77	setsid 15914	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Itv sSet Itv
96	37, 95	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 Itv sSet Itv
97	92, 94, 96	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10
98	97	oveqd 6667	. . . . . . . . 9
99	98	eleq2d 2687	. . . . . . . 8
100	97	oveqd 6667	. . . . . . . . 9
101	100	eleq2d 2687	. . . . . . . 8
102	97	oveqd 6667	. . . . . . . . 9
103	102	eleq2d 2687	. . . . . . . 8
104	99, 101, 103	3orbi123d 1398	. . . . . . 7 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
105	104	rabbidv 3189	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
106	105	mpt2eq3dv 6721	. . . . 5 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
107	106	opeq2d 4409	. . . 4 LineG $\/$ $\/$ LineG $\/$ $\/$
108	107	oveq2d 6666	. . 3 sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$ sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
109	75, 108	eqtr4d 2659	. 2 sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$
110	109, 97	jca 554	1 sSet Itv sSet LineG $\/$ $\/$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200

csb 3533

cop 4183

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

cc0 9936

c1 9937

c6 11074

c7 11075 ;cdc 11493

cicc 12178

cnx 15854 sSet csts 15855

cbs 15857

cvsca 15945

csg 17424 Itvcitv 25335 LineGclng 25336 toTGcttg 25753

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-dec 11494 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-sets 15864 df-itv 25337 df-lng 25338 df-ttg 25754

This theorem is referenced by: ttglem 25756 ttgitvval 25762

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