Theorem ulmcaulem 24148

Description: Lemma for ulmcau 24149 and ulmcau2 24150: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 14095. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmcau.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmcau.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
ulmcau.s	|- ( ph -> S e. V )
ulmcau.f	|- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )

Assertion

Ref	Expression
ulmcaulem	|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, m, x, z, F   ph, j, k, m, x, z   S, j, k, m, x, z   j, Z, k, m, x, z   j, M, k, z

Allowed substitution hints:   M( x, m)   V( x, z, j, k, m)

Proof of Theorem ulmcaulem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
2	1	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = w -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
3	2	rexralbidv 3058	. . . 4 |- ( x = w -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
4	3	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w )
5		rphalfcl 11858	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
6		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
7	6	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
8	7	rexralbidv 3058	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
9	8	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( ( x / 2 ) e. RR+ -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
10	5, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
11	10	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
13	12	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
14	13	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) = ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) )
15	14	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) )
16	15	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
18	17	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) )
19	18	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) )
20		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
22		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
24		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
25		ulmcau.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
27	26	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
28		ulmcau.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- Z = ( ZZ>= ` M )
29	28	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
30	29	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
31	28	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> m e. Z )
32	30, 31	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> m e. Z )
33	27, 32	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) )
34		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` m ) : S --> CC )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` m ) : S --> CC )
36	35	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` m ) ` z ) e. CC )
37	26	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
38	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
39		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
41	40	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC )
42	36, 41	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
43	42	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
44	43	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
45		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F : Z --> ( CC ^m S ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
46	26, 29, 45	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
47	46	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
49		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
51	50	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
52		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
53	52	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> x e. RR )
54	53	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> x e. RR )
55		abs3lem 14078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( F ` k ) ` z ) e. CC /\ ( ( F ` m ) ` z ) e. CC ) /\ ( ( ( F ` j ) ` z ) e. CC /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
56	51, 36, 41, 54, 55	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
57	44, 56	sylan2d 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
58	57	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
59	24, 58	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
60	59	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
61	60	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
62	61	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
63	23, 62	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
64	63	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
65	64	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
66	65	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
67	66	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) ) )
68	67	com23 86	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) ) )
69	19, 68	mpdi 45	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
70	69	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
71	11, 70	syld 47	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
72	71	ralrimdva 2969	. . 3 |- ( ph -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
73	4, 72	syl5bi 232	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
74		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
75	74, 28	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
76		uzid 11702	. . . . . . . 8 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
78	77	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
79		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` j ) )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
81	80	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` j ) ` z ) )
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) = ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
84	83	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
85	84	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
86	79, 85	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
87	86	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
88	78, 87	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
89		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
90	89	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
91	90	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) = ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) )
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) )
93	92	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x ) )
94	93	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x ) )
95	94	cbvralv 3171	. . . . . 6 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x )
96	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
98	97, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
99	98	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC )
100	25, 29, 45	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
101	100	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
102	101, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
103	102	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
104	99, 103	abssubd 14192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) )
105	104	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
106	105	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
107	106	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
108	95, 107	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
109	88, 108	sylibd 229	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
110	109	reximdva 3017	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
111	110	ralimdv 2963	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
112	73, 111	impbid 202	1 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  ulmcau  24149  ulmcau2  24150