Theorem uspgrbisymrelALT 41763

Description: Alternate proof of uspgrbisymrel 41762 not using the definition of equinumerosity. (Contributed by AV, 26-Nov-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrbisymrel.g	|- G = { <. v , e >. | ( v = V /\ E. q e. USPGraph ( (Vtx ` q ) = v /\ (Edg ` q ) = e ) ) }
uspgrbisymrel.r	|- R = { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) }

Assertion

Ref	Expression
uspgrbisymrelALT	|- ( V e. W -> E. f f : G -1-1-onto-> R )

Distinct variable groups:   e, V, q, v   V, r, x, y   e, W, q, v   x, W, y   f, G   R, f   f, V, r, x, y

Allowed substitution hints:   R( x, y, v, e, r, q)   G( x, y, v, e, r, q)   W( f, r)

Proof of Theorem uspgrbisymrelALT

Dummy variables g p c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . . 5 |- (Pairs ` V ) e. _V
2	1	pwex 4848	. . . 4 |- ~P (Pairs ` V ) e. _V
3		mptexg 6484	. . . 4 |- ( ~P (Pairs ` V ) e. _V -> ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) e. _V )
4	2, 3	mp1i 13	. . 3 |- ( V e. W -> ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) e. _V )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ~P (Pairs ` V ) = ~P (Pairs ` V )
6		uspgrbisymrel.g	. . . . 5 |- G = { <. v , e >. | ( v = V /\ E. q e. USPGraph ( (Vtx ` q ) = v /\ (Edg ` q ) = e ) ) }
7	5, 6	uspgrex 41758	. . . 4 |- ( V e. W -> G e. _V )
8		mptexg 6484	. . . 4 |- ( G e. _V -> ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) e. _V )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( V e. W -> ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) e. _V )
10		coexg 7117	. . 3 |- ( ( ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) e. _V /\ ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) e. _V ) -> ( ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) o. ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) ) e. _V )
11	4, 9, 10	syl2anc 693	. 2 |- ( V e. W -> ( ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) o. ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) ) e. _V )
12		uspgrbisymrel.r	. . . 4 |- R = { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) }
13		eqid 2622	. . . 4 |- ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) = ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } )
14	5, 12, 13	sprsymrelf1o 41748	. . 3 |- ( V e. W -> ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) : ~P (Pairs ` V ) -1-1-onto-> R )
15		eqid 2622	. . . 4 |- ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) = ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) )
16	5, 6, 15	uspgrsprf1o 41757	. . 3 |- ( V e. W -> ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) : G -1-1-onto-> ~P (Pairs ` V ) )
17		f1oco 6159	. . 3 |- ( ( ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) : ~P (Pairs ` V ) -1-1-onto-> R /\ ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) : G -1-1-onto-> ~P (Pairs ` V ) ) -> ( ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) o. ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) ) : G -1-1-onto-> R )
18	14, 16, 17	syl2anc 693	. 2 |- ( V e. W -> ( ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) o. ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) ) : G -1-1-onto-> R )
19		f1oeq1 6127	. . 3 |- ( f = ( ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) o. ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) ) -> ( f : G -1-1-onto-> R <-> ( ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) o. ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) ) : G -1-1-onto-> R ) )
20	19	spcegv 3294	. 2 |- ( ( ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) o. ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) ) e. _V -> ( ( ( p e. ~P (Pairs ` V ) |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) o. ( g e. G |-> ( 2nd ` g ) ) ) : G -1-1-onto-> R -> E. f f : G -1-1-onto-> R ) )
21	11, 18, 20	sylc 65	1 |- ( V e. W -> E. f f : G -1-1-onto-> R )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   2ndc2nd 7167  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USPGraph cuspgr 26043  Pairscspr 41727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-edg 25940  df-upgr 25977  df-uspgr 26045  df-spr 41728

This theorem is referenced by: (None)