Theorem zindbi 37511

Description: Inductively transfer a property to the integers if it holds for zero and passes between adjacent integers in either direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindbi.1	|- ( y e. ZZ -> ( ps <-> ch ) )
zindbi.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
zindbi.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> ch ) )
zindbi.4	|- ( x = 0 -> ( ph <-> th ) )
zindbi.5	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )

Assertion

Ref	Expression
zindbi	|- ( A e. ZZ -> ( th <-> ta ) )

Distinct variable groups:   ph, y   x, A, y   ps, x   ch, x   th, x   ta, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)

Proof of Theorem zindbi

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10034	. . . 4 |- 0 e. _V
2		zindbi.4	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ph <-> th ) )
3	1, 2	sbcie 3470	. . 3 |- ( [. 0 / x ]. ph <-> th )
4		0z 11388	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
5		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( y e. ZZ <-> 0 e. ZZ ) )
6		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( y <_ b <-> 0 <_ b ) )
7	5, 6	3anbi13d 1401	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( ( y e. ZZ /\ b e. ZZ /\ y <_ b ) <-> ( 0 e. ZZ /\ b e. ZZ /\ 0 <_ b ) ) )
8		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( [. y / x ]. ph <-> [. 0 / x ]. ph ) )
9	8	bibi1d 333	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( ( [. y / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) <-> ( [. 0 / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) ) )
10	7, 9	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( ( ( y e. ZZ /\ b e. ZZ /\ y <_ b ) -> ( [. y / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ b e. ZZ /\ 0 <_ b ) -> ( [. 0 / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) ) ) )
11		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( b = A -> ( b e. ZZ <-> A e. ZZ ) )
12		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( b = A -> ( 0 <_ b <-> 0 <_ A ) )
13	11, 12	3anbi23d 1402	. . . . . . . . 9 |- ( b = A -> ( ( 0 e. ZZ /\ b e. ZZ /\ 0 <_ b ) <-> ( 0 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 0 <_ A ) ) )
14		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . 10 |- ( b = A -> ( [. b / x ]. ph <-> [. A / x ]. ph ) )
15	14	bibi2d 332	. . . . . . . . 9 |- ( b = A -> ( ( [. 0 / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) <-> ( [. 0 / x ]. ph <-> [. A / x ]. ph ) ) )
16	13, 15	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( b = A -> ( ( ( 0 e. ZZ /\ b e. ZZ /\ 0 <_ b ) -> ( [. 0 / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( [. 0 / x ]. ph <-> [. A / x ]. ph ) ) ) )
17		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( [. a / x ]. ph <-> [. y / x ]. ph ) )
18	17	bibi2d 332	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( ( [. y / x ]. ph <-> [. a / x ]. ph ) <-> ( [. y / x ]. ph <-> [. y / x ]. ph ) ) )
19		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( [. a / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) )
20	19	bibi2d 332	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( ( [. y / x ]. ph <-> [. a / x ]. ph ) <-> ( [. y / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) ) )
21		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( [. a / x ]. ph <-> [. ( b + 1 ) / x ]. ph ) )
22	21	bibi2d 332	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( [. y / x ]. ph <-> [. a / x ]. ph ) <-> ( [. y / x ]. ph <-> [. ( b + 1 ) / x ]. ph ) ) )
23		biidd 252	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( [. y / x ]. ph <-> [. y / x ]. ph ) )
24		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
25		zindbi.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
26	24, 25	sbcie 3470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. y / x ]. ph <-> ps )
27		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = b -> ( [. y / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) )
28	26, 27	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = b -> ( ps <-> [. b / x ]. ph ) )
29		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y + 1 ) e. _V
30		zindbi.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> ch ) )
31	29, 30	sbcie 3470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. ( y + 1 ) / x ]. ph <-> ch )
32		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = b -> ( y + 1 ) = ( b + 1 ) )
33	32	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = b -> ( [. ( y + 1 ) / x ]. ph <-> [. ( b + 1 ) / x ]. ph ) )
34	31, 33	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = b -> ( ch <-> [. ( b + 1 ) / x ]. ph ) )
35	28, 34	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> ( ( ps <-> ch ) <-> ( [. b / x ]. ph <-> [. ( b + 1 ) / x ]. ph ) ) )
36		zindbi.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> ( ps <-> ch ) )
37	35, 36	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ZZ -> ( [. b / x ]. ph <-> [. ( b + 1 ) / x ]. ph ) )
38	37	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ZZ /\ b e. ZZ /\ y <_ b ) -> ( [. b / x ]. ph <-> [. ( b + 1 ) / x ]. ph ) )
39	38	bibi2d 332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ b e. ZZ /\ y <_ b ) -> ( ( [. y / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) <-> ( [. y / x ]. ph <-> [. ( b + 1 ) / x ]. ph ) ) )
40	39	biimpd 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ZZ /\ b e. ZZ /\ y <_ b ) -> ( ( [. y / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) -> ( [. y / x ]. ph <-> [. ( b + 1 ) / x ]. ph ) ) )
41	18, 20, 22, 20, 23, 40	uzind 11469	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ b e. ZZ /\ y <_ b ) -> ( [. y / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) )
42	10, 16, 41	vtocl2g 3270	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( [. 0 / x ]. ph <-> [. A / x ]. ph ) ) )
43	42	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( [. 0 / x ]. ph <-> [. A / x ]. ph ) ) )
44	43	pm2.43i 52	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( [. 0 / x ]. ph <-> [. A / x ]. ph ) )
45	4, 44	mp3an1 1411	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( [. 0 / x ]. ph <-> [. A / x ]. ph ) )
46		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( y e. ZZ <-> A e. ZZ ) )
47		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( y <_ b <-> A <_ b ) )
48	46, 47	3anbi13d 1401	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ( y e. ZZ /\ b e. ZZ /\ y <_ b ) <-> ( A e. ZZ /\ b e. ZZ /\ A <_ b ) ) )
49		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( [. y / x ]. ph <-> [. A / x ]. ph ) )
50	49	bibi1d 333	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ( [. y / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) <-> ( [. A / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) ) )
51	48, 50	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( ( ( y e. ZZ /\ b e. ZZ /\ y <_ b ) -> ( [. y / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) ) <-> ( ( A e. ZZ /\ b e. ZZ /\ A <_ b ) -> ( [. A / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) ) ) )
52		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = 0 -> ( b e. ZZ <-> 0 e. ZZ ) )
53		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = 0 -> ( A <_ b <-> A <_ 0 ) )
54	52, 53	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . 10 |- ( b = 0 -> ( ( A e. ZZ /\ b e. ZZ /\ A <_ b ) <-> ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A <_ 0 ) ) )
55		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = 0 -> ( [. b / x ]. ph <-> [. 0 / x ]. ph ) )
56	55	bibi2d 332	. . . . . . . . . 10 |- ( b = 0 -> ( ( [. A / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) <-> ( [. A / x ]. ph <-> [. 0 / x ]. ph ) ) )
57	54, 56	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( b = 0 -> ( ( ( A e. ZZ /\ b e. ZZ /\ A <_ b ) -> ( [. A / x ]. ph <-> [. b / x ]. ph ) ) <-> ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> ( [. A / x ]. ph <-> [. 0 / x ]. ph ) ) ) )
58	51, 57, 41	vtocl2g 3270	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> ( [. A / x ]. ph <-> [. 0 / x ]. ph ) ) )
59	58	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> ( [. A / x ]. ph <-> [. 0 / x ]. ph ) ) )
60	59	pm2.43i 52	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> ( [. A / x ]. ph <-> [. 0 / x ]. ph ) )
61	4, 60	mp3an2 1412	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> ( [. A / x ]. ph <-> [. 0 / x ]. ph ) )
62	61	bicomd 213	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> ( [. 0 / x ]. ph <-> [. A / x ]. ph ) )
63		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
64		zre 11381	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
65		letric 10137	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
66	63, 64, 65	sylancr 695	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
67	45, 62, 66	mpjaodan 827	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( [. 0 / x ]. ph <-> [. A / x ]. ph ) )
68	3, 67	syl5bbr 274	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( th <-> [. A / x ]. ph ) )
69		zindbi.5	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
70	69	sbcieg 3468	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( [. A / x ]. ph <-> ta ) )
71	68, 70	bitrd 268	1 |- ( A e. ZZ -> ( th <-> ta ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   [.wsbc 3435   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  jm2.25  37566