Theorem wwlksnextproplem2 26805

Description: Lemma 2 for wwlksnextprop 26807. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	|- X = ( ( N + 1 ) WWalksN G )
wwlksnextprop.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem2	|- ( ( W e. X /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. E )

Proof of Theorem wwlksnextproplem2

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		wwlksnextprop.e	. . . . 5 |- E = (Edg ` G )
3	1, 2	wwlknp 26734	. . . 4 |- ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) -> ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E ) )
4		fzonn0p1 12544	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( W ` i ) = ( W ` N ) )
7		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = N -> ( i + 1 ) = ( N + 1 ) )
8	7	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( W ` ( i + 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
9	6, 8	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = N -> { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } = { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } )
10	9	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = N -> ( { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. E ) )
11	10	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. E ) )
12	5, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. E ) )
13	12	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E ) -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. E )
14		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> W e. Word (Vtx ` G ) )
15		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> 1 e. ZZ )
16		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W e. Word (Vtx ` G ) -> ( # ` W ) e. NN0 )
17	16	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word (Vtx ` G ) -> ( # ` W ) e. ZZ )
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( # ` W ) e. ZZ )
19		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
20	19	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
22	15, 18, 21	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( 1 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) )
23		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
24		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
25		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
26	24, 25	addge02d 10616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ N <-> 1 <_ ( N + 1 ) ) )
27	23, 26	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( N + 1 ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( N + 1 ) )
29	19	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
30	29	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) )
31		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
32	30, 31	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
34	33	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
35	16, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word (Vtx ` G ) -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
36	35	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) )
37	28, 36	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( 1 <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) )
38		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
39	22, 37, 38	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) )
40	14, 39	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) )
41		swrd0fvlsw 13443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
43		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
44		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
45	43, 44	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
46	45	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` N ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` N ) )
48	42, 47	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` N ) )
49		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word (Vtx ` G ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
51		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) = ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) )
52	51	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) )
54	19	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
55	54, 44	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) = ( N + 1 ) )
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
57	53, 56	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
58	50, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
59	48, 58	preq12d 4276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } = { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } )
60	59	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. E ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E ) -> ( { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. E ) )
62	13, 61	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. E )
63	62	exp31 630	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( N e. NN0 -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. E ) ) )
64	63	com23 86	. . . . 5 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. E ) ) )
65	64	3impia 1261	. . . 4 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E ) -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. E ) )
66	3, 65	syl 17	. . 3 |- ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. E ) )
67		wwlksnextprop.x	. . 3 |- X = ( ( N + 1 ) WWalksN G )
68	66, 67	eleq2s 2719	. 2 |- ( W e. X -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. E ) )
69	68	imp 445	1 |- ( ( W e. X /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   substr csubstr 13295  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   WWalksN cwwlksn 26718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-substr 13303  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723

This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  26807