Theorem wwlksnextproplem3 26806

Description: Lemma 3 for wwlksnextprop 26807. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	|- X = ( ( N + 1 ) WWalksN G )
wwlksnextprop.e	|- E = (Edg ` G )
wwlksnextprop.y	|- Y = { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P }

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem3	|- ( ( W e. X /\ ( W ` 0 ) = P /\ N e. NN0 ) -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. Y )

Distinct variable groups:   w, G   w, N   w, P   w, W

Allowed substitution hints:   E( w)   X( w)   Y( w)

Proof of Theorem wwlksnextproplem3

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
2		iswwlksn 26730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) <-> ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) <-> ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) )
4		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
5	4	wwlkbp 26732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W e. (WWalks ` G ) -> ( G e. _V /\ W e. Word (Vtx ` G ) ) )
6		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W e. Word (Vtx ` G ) -> ( # ` W ) e. NN0 )
7		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) <-> ( ( N + 1 ) + 1 ) = ( # ` W ) )
8		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( # ` W ) e. CC )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( # ` W ) e. CC )
10		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 e. CC )
11		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. CC )
14		subadd2 10285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( # ` W ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( N + 1 ) e. CC ) -> ( ( ( # ` W ) - 1 ) = ( N + 1 ) <-> ( ( N + 1 ) + 1 ) = ( # ` W ) ) )
15	14	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( # ` W ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( N + 1 ) e. CC ) -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) = ( # ` W ) <-> ( ( # ` W ) - 1 ) = ( N + 1 ) ) )
16	9, 10, 13, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) = ( # ` W ) <-> ( ( # ` W ) - 1 ) = ( N + 1 ) ) )
17	7, 16	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) <-> ( ( # ` W ) - 1 ) = ( N + 1 ) ) )
18		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( # ` W ) - 1 ) = ( N + 1 ) <-> ( N + 1 ) = ( ( # ` W ) - 1 ) )
19	18	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( # ` W ) - 1 ) = ( N + 1 ) -> ( N + 1 ) = ( ( # ` W ) - 1 ) )
20	17, 19	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N + 1 ) = ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
21	20	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N + 1 ) = ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) )
22	21	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) = ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) )
23	6, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W e. Word (Vtx ` G ) -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) = ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) )
24	5, 23	simpl2im 658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. (WWalks ` G ) -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) = ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) )
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) = ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
26	25	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) = ( ( # ` W ) - 1 ) )
27	26	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> <. 0 , ( N + 1 ) >. = <. 0 , ( ( # ` W ) - 1 ) >. )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = ( W substr <. 0 , ( ( # ` W ) - 1 ) >. ) )
29		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> W e. (WWalks ` G ) )
30		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
31		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
33		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
34	32, 33	addge02d 10616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ N <-> 2 <_ ( N + 2 ) ) )
35	30, 34	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> 2 <_ ( N + 2 ) )
36		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
37		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
38	36, 37, 37	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) + 1 ) = ( N + ( 1 + 1 ) ) )
39		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 + 1 ) = 2
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> ( 1 + 1 ) = 2 )
41	40	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> ( N + ( 1 + 1 ) ) = ( N + 2 ) )
42	38, 41	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) + 1 ) = ( N + 2 ) )
43	35, 42	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> 2 <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> 2 <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) )
45		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( 2 <_ ( # ` W ) <-> 2 <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
46	45	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( 2 <_ ( # ` W ) <-> 2 <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
47	44, 46	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> 2 <_ ( # ` W ) )
48	29, 47	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W e. (WWalks ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) )
49		wwlksm1edg 26767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( W substr <. 0 , ( ( # ` W ) - 1 ) >. ) e. (WWalks ` G ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W substr <. 0 , ( ( # ` W ) - 1 ) >. ) e. (WWalks ` G ) )
51	28, 50	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. (WWalks ` G ) )
52	51	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( W e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. (WWalks ` G ) ) )
53	3, 52	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. (WWalks ` G ) ) )
54	53	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) -> ( N e. NN0 -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. (WWalks ` G ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) /\ ( W ` 0 ) = P ) -> ( N e. NN0 -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. (WWalks ` G ) ) )
56	55	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) /\ ( W ` 0 ) = P ) /\ N e. NN0 ) -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. (WWalks ` G ) )
57		wwlksnextprop.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = (Edg ` G )
58	4, 57	wwlknp 26734	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) -> ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E ) )
59		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> W e. Word (Vtx ` G ) )
60		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) + 1 ) e. NN0 )
61	1, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) + 1 ) e. NN0 )
62		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
63	33, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
64	63	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) )
65		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) + 1 ) ) <-> ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) + 1 ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
66	1, 61, 64, 65	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
68		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( 0 ... ( # ` W ) ) = ( 0 ... ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ... ( # ` W ) ) = ( 0 ... ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
70	67, 69	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
71	70	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
72	59, 71	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) )
73	72	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( N e. NN0 -> ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) ) )
74	73	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E ) -> ( N e. NN0 -> ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) ) )
75	58, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) -> ( N e. NN0 -> ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) ) )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) /\ ( W ` 0 ) = P ) -> ( N e. NN0 -> ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) ) )
77	76	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) /\ ( W ` 0 ) = P ) /\ N e. NN0 ) -> ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) )
78		swrd0len 13422	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( N + 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) -> ( # ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( N + 1 ) )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) /\ ( W ` 0 ) = P ) /\ N e. NN0 ) -> ( # ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( N + 1 ) )
80	56, 79	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) /\ ( W ` 0 ) = P ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( N + 1 ) ) )
81		iswwlksn 26730	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) <-> ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( N + 1 ) ) ) )
82	81	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) /\ ( W ` 0 ) = P ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) <-> ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. (WWalks ` G ) /\ ( # ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( N + 1 ) ) ) )
83	80, 82	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) /\ ( W ` 0 ) = P ) /\ N e. NN0 ) -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) )
84	83	exp31 630	. . . 4 |- ( W e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) -> ( ( W ` 0 ) = P -> ( N e. NN0 -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) ) ) )
85		wwlksnextprop.x	. . . 4 |- X = ( ( N + 1 ) WWalksN G )
86	84, 85	eleq2s 2719	. . 3 |- ( W e. X -> ( ( W ` 0 ) = P -> ( N e. NN0 -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) ) ) )
87	86	3imp 1256	. 2 |- ( ( W e. X /\ ( W ` 0 ) = P /\ N e. NN0 ) -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) )
88	85	wwlksnextproplem1 26804	. . . 4 |- ( ( W e. X /\ N e. NN0 ) -> ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` 0 ) )
89	88	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( W e. X /\ ( W ` 0 ) = P /\ N e. NN0 ) -> ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( W ` 0 ) )
90		simp2 1062	. . 3 |- ( ( W e. X /\ ( W ` 0 ) = P /\ N e. NN0 ) -> ( W ` 0 ) = P )
91	89, 90	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( W e. X /\ ( W ` 0 ) = P /\ N e. NN0 ) -> ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = P )
92		fveq1 6190	. . . 4 |- ( w = ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) -> ( w ` 0 ) = ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) )
93	92	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( w = ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = P ) )
94		wwlksnextprop.y	. . 3 |- Y = { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P }
95	93, 94	elrab2 3366	. 2 |- ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. Y <-> ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = P ) )
96	87, 91, 95	sylanbrc 698	1 |- ( ( W e. X /\ ( W ` 0 ) = P /\ N e. NN0 ) -> ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. Y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   NN0cn0 11292   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   substr csubstr 13295  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  WWalkscwwlks 26717   WWalksN cwwlksn 26718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723

This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  26807