MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0fvlsw Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem swrd0fvlsw 13443
Description: The last symbol in a left-anchored subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd0fvlsw |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , L >. ) ) = ( W ` ( L - 1 ) ) )
Proof of Theorem swrd0fvlsw
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13419 . . . 4 |- ( W e. Word V -> ( W substr <. 0 , L >. ) e. Word V )
21adantr 481 . . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( W substr <. 0 , L >. ) e. Word V )
3 lsw 13351 . . 3 |- ( ( W substr <. 0 , L >. ) e. Word V -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , L >. ) ) = ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` ( ( # ` ( W substr <. 0 , L >. ) ) - 1 ) ) )
42, 3syl 17 . 2 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , L >. ) ) = ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` ( ( # ` ( W substr <. 0 , L >. ) ) - 1 ) ) )
5 1eluzge0 11732 . . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
6 fzss1 12380 . . . . . . 7 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... ( # ` W ) ) C_ ( 0 ... ( # ` W ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( 1 ... ( # ` W ) ) C_ ( 0 ... ( # ` W ) )
87sseli 3599 . . . . 5 |- ( L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) -> L e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
9 swrd0len 13422 . . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) -> ( # ` ( W substr <. 0 , L >. ) ) = L )
108, 9sylan2 491 . . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( # ` ( W substr <. 0 , L >. ) ) = L )
1110oveq1d 6665 . . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( # ` ( W substr <. 0 , L >. ) ) - 1 ) = ( L - 1 ) )
1211fveq2d 6195 . 2 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` ( ( # ` ( W substr <. 0 , L >. ) ) - 1 ) ) = ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` ( L - 1 ) ) )
13 simpl 473 . . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> W e. Word V )
148adantl 482 . . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> L e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
15 elfznn 12370 . . . . 5 |- ( L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) -> L e. NN )
16 fzo0end 12560 . . . . 5 |- ( L e. NN -> ( L - 1 ) e. ( 0..^ L ) )
1715, 16syl 17 . . . 4 |- ( L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) -> ( L - 1 ) e. ( 0..^ L ) )
1817adantl 482 . . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( L - 1 ) e. ( 0..^ L ) )
19 swrd0fv 13439 . . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( L - 1 ) e. ( 0..^ L ) ) -> ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` ( L - 1 ) ) = ( W ` ( L - 1 ) ) )
2013, 14, 18, 19syl3anc 1326 . 2 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` ( L - 1 ) ) = ( W ` ( L - 1 ) ) )
214, 12, 203eqtrd 2660 1 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , L >. ) ) = ( W ` ( L - 1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   substr csubstr 13295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-substr 13303
This theorem is referenced by:  swrdtrcfvl  13450  wwlksnredwwlkn  26790  wwlksnextproplem2  26805  clwwlkinwwlk  26905  clwwlksf  26915  clwlksfclwwlk  26962  numclwlk2lem2f  27236
  Copyright terms: Public domain W3C validator