Theorem wwlktovf 13699

Description: Lemma 1 for wrd2f1tovbij 13703. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
wrd2f1tovbij.d	|- D = { w e. Word V | ( ( # ` w ) = 2 /\ ( w ` 0 ) = P /\ { ( w ` 0 ) , ( w ` 1 ) } e. X ) }
wrd2f1tovbij.r	|- R = { n e. V | { P , n } e. X }
wrd2f1tovbij.f	|- F = ( t e. D |-> ( t ` 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
wwlktovf	|- F : D --> R

Distinct variable groups:   t, D   P, n, t, w   t, R   n, V, t, w   n, X, w

Allowed substitution hints:   D( w, n)   R( w, n)   F( w, t, n)   X( t)

Proof of Theorem wwlktovf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd2f1tovbij.f	. 2 |- F = ( t e. D |-> ( t ` 1 ) )
2		wrdf 13310	. . . . 5 |- ( t e. Word V -> t : ( 0..^ ( # ` t ) ) --> V )
3		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` t ) = 2 -> ( 0..^ ( # ` t ) ) = ( 0..^ 2 ) )
4	3	feq2d 6031	. . . . . . 7 |- ( ( # ` t ) = 2 -> ( t : ( 0..^ ( # ` t ) ) --> V <-> t : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
5		1nn0 11308	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
6		2nn 11185	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
7		1lt2 11194	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
8		elfzo0 12508	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ( 0..^ 2 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) )
9	5, 6, 7, 8	mpbir3an 1244	. . . . . . . 8 |- 1 e. ( 0..^ 2 )
10		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( t : ( 0..^ 2 ) --> V /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) -> ( t ` 1 ) e. V )
11	9, 10	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( t : ( 0..^ 2 ) --> V -> ( t ` 1 ) e. V )
12	4, 11	syl6bi 243	. . . . . 6 |- ( ( # ` t ) = 2 -> ( t : ( 0..^ ( # ` t ) ) --> V -> ( t ` 1 ) e. V ) )
13	12	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ( # ` t ) = 2 /\ ( t ` 0 ) = P /\ { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } e. X ) -> ( t : ( 0..^ ( # ` t ) ) --> V -> ( t ` 1 ) e. V ) )
14	2, 13	mpan9 486	. . . 4 |- ( ( t e. Word V /\ ( ( # ` t ) = 2 /\ ( t ` 0 ) = P /\ { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } e. X ) ) -> ( t ` 1 ) e. V )
15		preq1 4268	. . . . . . . 8 |- ( ( t ` 0 ) = P -> { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } = { P , ( t ` 1 ) } )
16	15	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ( t ` 0 ) = P -> ( { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } e. X <-> { P , ( t ` 1 ) } e. X ) )
17	16	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ( t ` 0 ) = P /\ { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } e. X ) -> { P , ( t ` 1 ) } e. X )
18	17	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( ( # ` t ) = 2 /\ ( t ` 0 ) = P /\ { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } e. X ) -> { P , ( t ` 1 ) } e. X )
19	18	adantl 482	. . . 4 |- ( ( t e. Word V /\ ( ( # ` t ) = 2 /\ ( t ` 0 ) = P /\ { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } e. X ) ) -> { P , ( t ` 1 ) } e. X )
20	14, 19	jca 554	. . 3 |- ( ( t e. Word V /\ ( ( # ` t ) = 2 /\ ( t ` 0 ) = P /\ { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } e. X ) ) -> ( ( t ` 1 ) e. V /\ { P , ( t ` 1 ) } e. X ) )
21		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( w = t -> ( # ` w ) = ( # ` t ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( w = t -> ( ( # ` w ) = 2 <-> ( # ` t ) = 2 ) )
23		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( w = t -> ( w ` 0 ) = ( t ` 0 ) )
24	23	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( w = t -> ( ( w ` 0 ) = P <-> ( t ` 0 ) = P ) )
25		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( w = t -> ( w ` 1 ) = ( t ` 1 ) )
26	23, 25	preq12d 4276	. . . . . 6 |- ( w = t -> { ( w ` 0 ) , ( w ` 1 ) } = { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } )
27	26	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( w = t -> ( { ( w ` 0 ) , ( w ` 1 ) } e. X <-> { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } e. X ) )
28	22, 24, 27	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( w = t -> ( ( ( # ` w ) = 2 /\ ( w ` 0 ) = P /\ { ( w ` 0 ) , ( w ` 1 ) } e. X ) <-> ( ( # ` t ) = 2 /\ ( t ` 0 ) = P /\ { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } e. X ) ) )
29		wrd2f1tovbij.d	. . . 4 |- D = { w e. Word V | ( ( # ` w ) = 2 /\ ( w ` 0 ) = P /\ { ( w ` 0 ) , ( w ` 1 ) } e. X ) }
30	28, 29	elrab2 3366	. . 3 |- ( t e. D <-> ( t e. Word V /\ ( ( # ` t ) = 2 /\ ( t ` 0 ) = P /\ { ( t ` 0 ) , ( t ` 1 ) } e. X ) ) )
31		preq2 4269	. . . . 5 |- ( n = ( t ` 1 ) -> { P , n } = { P , ( t ` 1 ) } )
32	31	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( n = ( t ` 1 ) -> ( { P , n } e. X <-> { P , ( t ` 1 ) } e. X ) )
33		wrd2f1tovbij.r	. . . 4 |- R = { n e. V | { P , n } e. X }
34	32, 33	elrab2 3366	. . 3 |- ( ( t ` 1 ) e. R <-> ( ( t ` 1 ) e. V /\ { P , ( t ` 1 ) } e. X ) )
35	20, 30, 34	3imtr4i 281	. 2 |- ( t e. D -> ( t ` 1 ) e. R )
36	1, 35	fmpti 6383	1 |- F : D --> R

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299

This theorem is referenced by:  wwlktovf1  13700  wwlktovfo  13701