Theorem jm2.25 37566

Description: Lemma for jm2.26 37569. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.25	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ I e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.25

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		simprrr 805	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> N e. ZZ )
3		frmx 37478	. . . . . . . . . . 11 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
4	3	fovcl 6765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
6	1, 2, 5	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
7		simprrl 804	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> M e. ZZ )
8		frmy 37479	. . . . . . . . . 10 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
9	8	fovcl 6765	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
10	1, 7, 9	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
11		congid 37538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( A Yrm M ) e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm M ) - ( A Yrm M ) ) )
12	6, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( I e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm M ) - ( A Yrm M ) ) )
13		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
14		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
15	13, 14	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. CC )
16	15	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( 0 x. ( 2 x. N ) ) = 0 )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 x. ( 2 x. N ) ) = 0 )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) = ( M + 0 ) )
19		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
20	19	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( M + 0 ) = M )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + 0 ) = M )
22	18, 21	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) = M )
23	22	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) = M )
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) = ( A Yrm M ) )
25	24	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( I e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm M ) - ( A Yrm M ) ) )
26	12, 25	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( I e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) )
27	26	orcd 407	. . . . 5 |- ( ( I e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
28	27	ex 450	. . . 4 |- ( I e. ZZ -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
29		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
30		simprrr 805	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> N e. ZZ )
31	29, 30, 5	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
32		simprrl 804	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> M e. ZZ )
33	29, 32, 9	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
34		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> b e. ZZ )
35	34	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( b + 1 ) e. ZZ )
36		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. ZZ )
37	36	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> 2 e. ZZ )
38	37, 30	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
39	35, 38	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) e. ZZ )
40	32, 39	zaddcld 11486	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
41	8	fovcl 6765	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. ZZ )
42	29, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. ZZ )
43	34, 38	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( b x. ( 2 x. N ) ) e. ZZ )
44	32, 43	zaddcld 11486	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
45	8	fovcl 6765	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. ZZ )
46	29, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. ZZ )
47	3	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( 2 x. N ) ) e. NN0 )
48	47	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( 2 x. N ) ) e. ZZ )
49	29, 38, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm ( 2 x. N ) ) e. ZZ )
50	46, 49	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
51	46	znegcld 11484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. ZZ )
52	50, 51	zsubcld 11487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) e. ZZ )
53	3	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. NN0 )
54	53	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. ZZ )
55	29, 44, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. ZZ )
56	8	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( 2 x. N ) ) e. ZZ )
57	29, 38, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm ( 2 x. N ) ) e. ZZ )
58	55, 57	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
59	37, 31	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( A Xrm N ) ) e. ZZ )
60		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. ( A Xrm N ) ) e. ZZ /\ ( A Xrm N ) e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) || ( ( 2 x. ( A Xrm N ) ) x. ( A Xrm N ) ) )
61	59, 31, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( 2 x. ( A Xrm N ) ) x. ( A Xrm N ) ) )
62		rmxdbl 37504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. ( ( A Xrm N ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
63	29, 30, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. ( ( A Xrm N ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. ( ( A Xrm N ) ^ 2 ) ) - 1 ) + 1 ) )
65		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> 2 e. CC )
66	29, 30, 4	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
67	66	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
68	67	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ 2 ) e. CC )
69	65, 68	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( ( A Xrm N ) ^ 2 ) ) e. CC )
70		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> 1 e. CC )
71	69, 70	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( 2 x. ( ( A Xrm N ) ^ 2 ) ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 x. ( ( A Xrm N ) ^ 2 ) ) )
72	67	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ 2 ) = ( ( A Xrm N ) x. ( A Xrm N ) ) )
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( ( A Xrm N ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( A Xrm N ) x. ( A Xrm N ) ) ) )
74		mulass 10024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A Xrm N ) e. CC /\ ( A Xrm N ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A Xrm N ) ) x. ( A Xrm N ) ) = ( 2 x. ( ( A Xrm N ) x. ( A Xrm N ) ) ) )
75	74	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A Xrm N ) e. CC /\ ( A Xrm N ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A Xrm N ) x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( 2 x. ( A Xrm N ) ) x. ( A Xrm N ) ) )
76	65, 67, 67, 75	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( ( A Xrm N ) x. ( A Xrm N ) ) ) = ( ( 2 x. ( A Xrm N ) ) x. ( A Xrm N ) ) )
77	73, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( ( A Xrm N ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( A Xrm N ) ) x. ( A Xrm N ) ) )
78	64, 71, 77	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( A Xrm N ) ) x. ( A Xrm N ) ) )
79	61, 78	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) )
80	49	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) e. ZZ )
81		dvdsmultr2 15021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) -> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) ) ) )
82	31, 46, 80, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) -> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) ) ) )
83	79, 82	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) ) )
84	46	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. CC )
85	84	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. 1 ) = ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) + ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) + ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) )
87	49	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm ( 2 x. N ) ) e. CC )
88	84, 87, 70	adddid 10064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) + ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. 1 ) ) )
89	50	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) e. CC )
90	89, 84	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) = ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) + ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) )
91	86, 88, 90	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( ( A Xrm ( 2 x. N ) ) + 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) )
92	83, 91	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) )
93	8	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
94	29, 30, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
95	37, 94	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) e. ZZ )
96		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) e. ZZ /\ ( A Xrm N ) e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) || ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) x. ( A Xrm N ) ) )
97	95, 31, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) x. ( A Xrm N ) ) )
98		rmydbl 37505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. ( A Xrm N ) ) x. ( A Yrm N ) ) )
99	29, 30, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. ( A Xrm N ) ) x. ( A Yrm N ) ) )
100	94	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
101	65, 67, 100	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( 2 x. ( A Xrm N ) ) x. ( A Yrm N ) ) = ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) x. ( A Xrm N ) ) )
102	99, 101	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) x. ( A Xrm N ) ) )
103	97, 102	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( A Yrm ( 2 x. N ) ) )
104		dvdsmultr2 15021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. ZZ /\ ( A Yrm ( 2 x. N ) ) e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) || ( A Yrm ( 2 x. N ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) )
105	31, 55, 57, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( A Yrm ( 2 x. N ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) )
106	103, 105	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) )
107		dvds2add 15015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) /\ ( A Xrm N ) || ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) + ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) ) )
108	107	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ ) /\ ( ( A Xrm N ) || ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) /\ ( A Xrm N ) || ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) + ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) )
109	31, 52, 58, 92, 106, 108	syl32anc 1334	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) + ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) )
110	34	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> b e. CC )
111	38	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
112	110, 70, 111	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) = ( ( b x. ( 2 x. N ) ) + ( 1 x. ( 2 x. N ) ) ) )
113	112	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) = ( M + ( ( b x. ( 2 x. N ) ) + ( 1 x. ( 2 x. N ) ) ) ) )
114	32	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> M e. CC )
115	43	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( b x. ( 2 x. N ) ) e. CC )
116		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> 1 e. ZZ )
117	116, 38	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( 1 x. ( 2 x. N ) ) e. ZZ )
118	117	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( 1 x. ( 2 x. N ) ) e. CC )
119	114, 115, 118	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) + ( 1 x. ( 2 x. N ) ) ) = ( M + ( ( b x. ( 2 x. N ) ) + ( 1 x. ( 2 x. N ) ) ) ) )
120	111	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( 1 x. ( 2 x. N ) ) = ( 2 x. N ) )
121	120	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) + ( 1 x. ( 2 x. N ) ) ) = ( ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) + ( 2 x. N ) ) )
122	113, 119, 121	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) = ( ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) + ( 2 x. N ) ) )
123	122	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) = ( A Yrm ( ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) + ( 2 x. N ) ) ) )
124		rmyadd 37496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) + ( 2 x. N ) ) ) = ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) + ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) )
125	29, 44, 38, 124	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm ( ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) + ( 2 x. N ) ) ) = ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) + ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) )
126	123, 125	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) = ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) + ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) )
127	126	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) = ( ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) + ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) )
128	58	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) e. CC )
129	51	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. CC )
130	89, 128, 129	addsubd 10413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) + ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) = ( ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) + ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) )
131	127, 130	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) = ( ( ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Xrm ( 2 x. N ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) + ( ( A Xrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) x. ( A Yrm ( 2 x. N ) ) ) ) )
132	109, 131	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) )
133	132	olcd 408	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) ) )
134		jm2.25lem1 37565	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( A Yrm M ) e. ZZ ) /\ ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. ZZ /\ ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) e. ZZ ) /\ ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) <-> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
135	31, 33, 42, 46, 133, 134	syl221anc 1337	. . . . . 6 |- ( ( b e. ZZ /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) <-> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
136	135	pm5.74da 723	. . . . 5 |- ( b e. ZZ -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) ) )
137		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = b -> ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( b x. ( 2 x. N ) ) )
138	137	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) = ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) )
139	138	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) = ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) )
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) )
141	140	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) <-> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) ) )
142	139	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) )
143	142	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) <-> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
144	141, 143	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) <-> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
145	144	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( b x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) ) )
146		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) )
147	146	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) = ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
148	147	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) = ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) )
149	148	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) )
150	149	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) <-> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) ) )
151	148	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) )
152	151	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) <-> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
153	150, 152	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) <-> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
154	153	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( ( b + 1 ) x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) ) )
155		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = 0 -> ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( 0 x. ( 2 x. N ) ) )
156	155	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = 0 -> ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) = ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) )
157	156	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( a = 0 -> ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) = ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) )
158	157	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) )
159	158	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) <-> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) ) )
160	157	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) )
161	160	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) <-> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
162	159, 161	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) <-> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
163	162	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) ) )
164		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = I -> ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( I x. ( 2 x. N ) ) )
165	164	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = I -> ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) = ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) )
166	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( a = I -> ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) = ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) )
167	166	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) )
168	167	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) <-> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) ) )
169	166	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) )
170	169	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) <-> ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
171	168, 170	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) <-> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
172	171	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( a = I -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) ) )
173	136, 145, 154, 163, 172	zindbi 37511	. . . 4 |- ( I e. ZZ -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( 0 x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) ) )
174	28, 173	mpbid 222	. . 3 |- ( I e. ZZ -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
175	174	impcom 446	. 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ I e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
176	175	3impa 1259	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ I e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( I x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860   || cdvds 14983   X_rm crmx 37464   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm2.26a  37567