Theorem arisum 14592

Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
arisum	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11294	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		1zzd 11408	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		nnz 11399	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 11483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
6	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
8	2, 2, 3, 6, 7	fsumshftm 14513	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
9		1m1e0 11089	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
10	9	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
11	10	sumeq1i 14428	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1)
12	8, 11	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
13		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
15		bcnp1n 13101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
17	14	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
18		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		addcom 10222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
20	17, 18, 19	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
21	20	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
22	16, 21	eqtr3d 2658	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
23	22	sumeq2dv 14433	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
24		1nn0 11308	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25		nnm1nn0 11334	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
26		bcxmas 14567	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
27	24, 25, 26	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
28	23, 27	eqtr4d 2659	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)))
29		1cnd 10056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
30		nncn 11028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 29, 30	ppncand 10432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (1 + 𝑁))
32		addcom 10222	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
33	18, 30, 32	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
34	31, 33	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
35	34	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)))
36		nnnn0 11299	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
37		bcp1m1 13107	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
38	36, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
39	30, 29, 30	adddird 10065	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)))
40		sqval 12922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
41	40	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
42		mulid2 10038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
43	41, 42	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
44	30, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
45	39, 44	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
46	45	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
47	35, 38, 46	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
48	12, 28, 47	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
49		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
50		fz10 12362	. . . . . . 7 ⊢ (1...0) = ∅
51	49, 50	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
52	51	sumeq1d 14431	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
53		sum0 14452	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
54	52, 53	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = 0)
55		sq0i 12956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
56		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
57	55, 56	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (0 + 0))
58		00id 10211	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
59	57, 58	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = 0)
60	59	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = (0 / 2))
61		2cn 11091	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
62		2ne0 11113	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
63	61, 62	div0i 10759	. . . . 5 ⊢ (0 / 2) = 0
64	60, 63	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = 0)
65	54, 64	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
66	48, 65	jaoi 394	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
67	1, 66	sylbi 207	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∅c0 3915  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  Ccbc 13089  Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  arisum2  14593