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Theorem ax5seg 25818

Description: The five segment axiom. Take two triangles 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐺, a point 𝐵 on 𝐴𝐶, and a point 𝐹 on 𝐸𝐺. If all corresponding line segments except for 𝐶𝐷 and 𝐺𝐻 are congruent, then so are 𝐶𝐷 and 𝐺𝐻. Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
ax5seg	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))

Proof of Theorem ax5seg Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		simpl21 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylancom 701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
5		simpl22 1140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylancom 701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℝ)
8	4, 7	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗)) ∈ ℝ)
9	8	resqcld 13035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) ∈ ℝ)
10	1, 9	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
13		simpl32 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℝ)
15	13, 14	sylancom 701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℝ)
16		simpl33 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℝ)
18	16, 17	sylancom 701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℝ)
19	15, 18	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗)) ∈ ℝ)
20	19	resqcld 13035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) ∈ ℝ)
21	1, 20	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) ∈ ℝ)
22	21	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
24		0re 10040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		1re 10039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
26	24, 25	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
27	26	simp1bi 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
28	27	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) → 𝑡 ∈ ℂ)
30	29	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → 𝑡 ∈ ℂ)
31	30	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑡 ∈ ℂ)
32		simpl11 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑁 ∈ ℕ)
33		simp12 1092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
34		simp13 1093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
35		simp21 1094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
36	33, 34, 35	3jca 1242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
37	36	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
38		simprrl 804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
39	38	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
40	39	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
41		simp1rl 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
42	41	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
43		ax5seglem4 25812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑡 ≠ 0)
44	32, 37, 40, 42, 43	syl211anc 1332	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑡 ≠ 0)
45		simpr3r 1123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)
46		simpl13 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		simpl22 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
48		simpl31 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
49		simpl33 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
50		brcgr 25780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
51	46, 47, 48, 49, 50	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
52	45, 51	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2))
53		simp23 1096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
54		simp31 1097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
55		simp32 1098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
56	53, 54, 55	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)))
57	36, 56	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))))
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))))
59		simpr1l 1118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)))
60		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))
61	60	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))
63	40, 62	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))
64		simpr2l 1120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
65		simpr2r 1121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)
66		ax5seglem6 25814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)) → 𝑡 = 𝑠)
67	32, 58, 42, 59, 63, 64, 65, 66	syl232anc 1353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑡 = 𝑠)
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑠))
69	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)))
70		ax5seglem3 25811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2))
71	32, 37, 69, 59, 63, 64, 65, 70	syl322anc 1354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2))
72	67, 71	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) = (𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)))
73		simpr3l 1122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩)
74		simpl12 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
75		simpl23 1141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
76		brcgr 25780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
77	74, 47, 75, 49, 76	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
78	73, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2))
79	72, 78	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ((𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = ((𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
80	68, 79	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ((1 − 𝑡) · ((𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))) = ((1 − 𝑠) · ((𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2))))
81	52, 80	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑡) · ((𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑠) · ((𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))))
82	33, 34	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
83		simp22 1095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
84	82, 35, 83	jca32 558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))))
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))))
86		simp1ll 1124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
88		ax5seglem9 25817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑡) · ((𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
89	32, 85, 87, 40, 88	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑡) · ((𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
90		3simpc 1060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁)))
91	90	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁)))
92	53, 54, 91	jca31 557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))))
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ((𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))))
94		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
96		ax5seglem9 25817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) → (𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑠) · ((𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))))
97	32, 93, 95, 62, 96	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑠) · ((𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))))
98	81, 89, 97	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
99	67	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)) = (𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
100	98, 99	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
101	12, 23, 31, 44, 100	mulcanad 10662	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2))
102	101	3exp2 1285	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) → ((⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))))
103	102	expd 452	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) → ((⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2))))))
104	103	rexlimdvv 3037	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) → ((⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))))
105	104	3impd 1281	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
106		brbtwn 25779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
107	34, 33, 35, 106	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
108		brbtwn 25779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))
109	54, 53, 55, 108	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))
110	107, 109	anbi12d 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
111		reeanv 3107	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))
112	110, 111	syl6bbr 278	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
113	112	anbi2d 740	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))))
114		3anass 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)))
115		r19.42v 3092	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
116	115	rexbii 3041	. . . . 5 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
117		r19.42v 3092	. . . . 5 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
118	116, 117	bitri 264	. . . 4 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
119	113, 114, 118	3bitr4g 303	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))))
120	119	3anbi1d 1403	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))))
121		simp33 1099	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
122		brcgr 25780	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
123	35, 83, 55, 121, 122	syl22anc 1327	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
124	105, 120, 123	3imtr4d 283	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 ⟨cop 4183 class class class wbr 4653 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 ≤ cle 10075 − cmin 10266 ℕcn 11020 2c2 11070 [,]cicc 12178 ...cfz 12326 ↑cexp 12860 Σcsu 14416 𝔼cee 25768 Btwn cbtwn 25769 Cgrccgr 25770

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-ee 25771 df-btwn 25772 df-cgr 25773

This theorem is referenced by: eengtrkg 25865 5segofs 32113

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