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Theorem clwwlksel 26914

Description: Obtaining a closed walk (as word) by appending the first symbol to the word representing a walk. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwwlksbij.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlksel	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups: 𝑖,𝐺 𝑤,𝐺 𝑖,𝑁 𝑤,𝑁 𝑃,𝑖 𝑤,𝑃 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem clwwlksel**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 794	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2		fstwrdne0 13345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
3		ccatws1n0 13409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
5	4	3adant3 1081	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
6		simp2l 1087	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7	2	s1cld 13383	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8	7	3adant3 1081	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9		ccatcl 13359	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
12	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
13		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
15		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
17		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)))
18		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → 𝑖 ∈ ℝ)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
20		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
21		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
24	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	19, 23, 24	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → 𝑖 < (𝑁 − 1))
28	20	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
31		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁))
32	31	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁)) → 𝑖 < 𝑁)
33	26, 27, 30, 32	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → 𝑖 < 𝑁)
34	33	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 < (𝑁 − 1) → 𝑖 < 𝑁))
35	34	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
36	35	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
37	17, 36	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
38	37	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
39		elfzo0z 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑁))
40	14, 16, 38, 39	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
41	40	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
42		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (0..^(#‘𝑃)) = (0..^𝑁))
43	42	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
44	43	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
46	41, 45	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
47		ccatval1 13361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
48	11, 12, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
49	48	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖))
50		elfzom1p1elfzo 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
51	50	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
52	42	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0..^𝑁))
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(#‘𝑃)) = (0..^𝑁))
54	51, 53	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)))
55		ccatval1 13361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
56	11, 12, 54, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
57	56	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)))
58	49, 57	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))})
59	58	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
60	59	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
61	60	biimpcd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
62	61	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
63	62	expdcom 455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
64	63	3imp 1256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
65		fzo0end 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
67	42	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
68	67	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
69	66, 68	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)))
70		ccatval1 13361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
71	1, 7, 69, 70	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
72		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = (#‘𝑃) → (𝑁 − 1) = ((#‘𝑃) − 1))
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = (#‘𝑃) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
74	73	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
76		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
78	75, 77	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = ( lastS ‘𝑃))
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = ( lastS ‘𝑃))
80	71, 79	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ( lastS ‘𝑃) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = (#‘𝑃) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)))
82	81	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)))
83	82	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)))
84		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
85		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
86	84, 85	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87	86	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
90		ccatws1ls 13410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)) = (𝑃‘0))
91	1, 2, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)) = (𝑃‘0))
92	83, 89, 91	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
93	80, 92	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
94	93	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
95	94	biimpcd 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
96	95	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
97	96	expdcom 455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
98	97	3imp 1256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
99		ovex 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) ∈ V
100		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
101		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
103	100, 102	preq12d 4276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
104	103	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
105	99, 104	ralsn 4222	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
106	98, 105	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
107	84, 85, 85	addsubd 10413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
108	107	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^((𝑁 − 1) + 1)))
109		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
110		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
111	109, 110	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
112		fzosplitsn 12576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
114	108, 113	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
115	114	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
116		ralunb 3794	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
117	115, 116	syl6bb 276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
118	117	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
119	64, 106, 118	mpbir2and 957	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
120		ccatlen 13360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
121	1, 7, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
122		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (#‘𝑃) = 𝑁)
123		s1len 13385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1)
125	122, 124	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
126	125	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
127	121, 126	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
128	127	3adant3 1081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
129	128	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
130	129	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
131	130	raleqdv 3144	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
132	119, 131	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
133	5, 10, 132	3jca 1242	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
134		nnnn0 11299	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
135		iswwlksn 26730	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
136	134, 135	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
137		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
138		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
139	137, 138	iswwlks 26728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
140	139	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
141	140	anbi1d 741	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
142	136, 141	bitrd 268	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
143	142	3ad2ant1 1082	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
144	133, 128, 143	mpbir2and 957	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
145		lswccats1 13411	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
146	1, 2, 145	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
147		lbfzo0 12507	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
148	147	biimpri 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^𝑁))
149	148	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → 0 ∈ (0..^𝑁))
150	42	eleq2d 2687	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (0 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
151	150	ad2antll 765	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
152	149, 151	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
153		ccatval1 13361	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
154	1, 7, 152, 153	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
155	146, 154	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
156	155	3adant3 1081	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
157		fveq2 6191	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → ( lastS ‘𝑤) = ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
158		fveq1 6190	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
159	157, 158	eqeq12d 2637	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0) ↔ ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
160		clwwlksbij.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}
161	159, 160	elrab2 3366	. 2 ⊢ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
162	144, 156, 161	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 {crab 2916 ∪ cun 3572 ∅c0 3915 {csn 4177 {cpr 4179 class class class wbr 4653 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 < clt 10074 − cmin 10266 ℕcn 11020 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ..^cfzo 12465 #chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292 ++ cconcat 13293 ⟨“cs1 13294 Vtxcvtx 25874 Edgcedg 25939 WWalkscwwlks 26717 WWalksN cwwlksn 26718

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-concat 13301 df-s1 13302 df-wwlks 26722 df-wwlksn 26723

This theorem is referenced by: clwwlksfo 26918 clwwlksnwwlkncl 26921

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