Theorem cntop2 21045

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 21042	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 476	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 479	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∪ cuni 4436  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  ⟶wf 5884  (class class class)co 6650  Topctop 20698   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  cnco  21070  cncls2i  21074  cnntri  21075  cnss1  21080  cncnpi  21082  cncnp2  21085  cnrest  21089  cnrest2r  21091  paste  21098  cncmp  21195  rncmp  21199  cnconn  21225  connima  21228  conncn  21229  2ndcomap  21261  kgen2cn  21362  txcnmpt  21427  uptx  21428  lmcn2  21452  xkoco1cn  21460  xkoco2cn  21461  xkococnlem  21462  cnmpt11  21466  cnmpt11f  21467  cnmpt1t  21468  cnmpt12  21470  cnmpt21  21474  cnmpt2t  21476  cnmpt22  21477  cnmpt22f  21478  cnmptcom  21481  cnmpt2k  21491  qtopeu  21519  hmeofval  21561  hmeof1o  21567  hmeontr  21572  hmeores  21574  hmeoqtop  21578  hmphen  21588  reghmph  21596  nrmhmph  21597  txhmeo  21606  xpstopnlem1  21612  flfcntr  21847  cnmpt2pc  22727  ishtpy  22771  htpyco1  22777  htpyco2  22778  isphtpy  22780  phtpyco2  22789  isphtpc  22793  pcofval  22810  pcopt  22822  pcopt2  22823  pcorevlem  22826  pi1cof  22859  pi1coghm  22861  cnmbfm  30325  cnpconn  31212