Theorem coeidlem 23993

Description: Lemma for coeid 23994. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
coeid.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeid.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
coeid.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
coeid.6	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeid.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
coeidlem	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem coeidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coeid.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
2		dgrub.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3		coeid.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		coeid.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		coeid.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
6		plybss 23950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11		cnex 10017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 7870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	5, 16	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18	17, 10	fssd 6057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
19		coeid.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
20	3, 4, 18, 19, 1	coeeq 23983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐵)
21	2, 20	syl5req 2669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
22	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵 = 𝐴)
23		fveq1 6190	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
24	23	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
25	24	sumeq2sdv 14435	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
26	22, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
27	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
28		dgrub.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
29		dgrcl 23989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
30	28, 29	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 11480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
33	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 11480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	22	imaeq1d 5465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
36	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
37	35, 36	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
38	2, 28	dgrlb 23992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0}) → 𝑁 ≤ 𝑀)
39	27, 33, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ≤ 𝑀)
40		eluz2 11693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
41	32, 34, 39, 40	syl3anbrc 1246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
42		fzss2 12381	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
44		elfznn0 12433	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
45		plyssc 23956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
46	45, 3	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
47	2	coef3 23988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
50	49	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
51		expcl 12878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
52	51	adantll 750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
53	50, 52	mulcld 10060	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
54	44, 53	sylan2 491	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
55		eldifn 3733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
56	55	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
58		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
60	2, 28	dgrub 23990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ 𝑁)
61	60	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
62	27, 59, 61	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
63		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
64	57, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
65		elfz5 12334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
66	64, 32, 65	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
67	62, 66	sylibrd 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
68	67	necon1bd 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴‘𝑘) = 0))
69	56, 68	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
70	69	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (0 · (𝑧↑𝑘)))
71		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
72	71, 59, 51	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
73	72	mul02d 10234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧↑𝑘)) = 0)
74	70, 73	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = 0)
75		fzfid 12772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
76	43, 54, 74, 75	fsumss 14456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
77	26, 76	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
78	77	mpteq2dva 4744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
79	1, 78	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   “ cima 5117  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  Σcsu 14416  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  coeid  23994