lgamgulmlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem lgamgulmlem2 24756

Description: Lemma for lgamgulm 24761. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgamgulm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgamgulm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lgamgulm.l	⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
lgamgulmlem2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑁 𝑥,𝑘,𝑅 𝐴,𝑘,𝑥 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑘) 𝑈(𝑥,𝑘) 𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem2 Dummy variables 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elunit 12291	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
2		0elunit 12290	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
3		0red 10041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		1red 10055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
6	5	subcn 22669	. . . . . 6 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
8		lgamgulm.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
9		lgamgulm.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
10	8, 9	lgamgulmlem1 24755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
11		lgamgulm.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
12	10, 11	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
13	12	eldifad 3586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14		lgamgulm.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
15	14	nnred 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	14	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
18	13, 16, 17	divcld 10801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
19		unitssre 12319	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
20		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
21	19, 20	sstri 3612	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
23		ssid 3624	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
25		cncfmptc 22714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
26	18, 22, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
27		cncfmptid 22715	. . . . . . 7 ⊢ (((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
28	21, 24, 27	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
29	26, 28	mulcncf 23215	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
30	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
31		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
32	19, 31	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
33	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
34	30, 33	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
35		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	addcld 10059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
37		rere 13862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
39	36	recld 13934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ)
40	34	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
42	41	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ)
43	34	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ)
44		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
45		absrele 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
46	34, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
47	44	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
48	8	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
50	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
51	49, 50	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ)
52	18	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ)
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ)
54	30	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 / 𝑁)))
55		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ∈ ℝ
56		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℝ
57	55, 56	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
58	57	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
60	13, 16, 17	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)))
61	14	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
62	61	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
63	15, 62	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
64	63	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
65	60, 64	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) = (abs‘(𝐴 / 𝑁)))
66	13	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
68	67	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 𝑅))
69		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + 𝑘) = (𝐴 + 𝑘))
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝐴 + 𝑘)))
71	70	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
72	71	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
73	68, 72	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
74	73, 9	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
75	74	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
76	11, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
77	76	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
78	66, 48, 61, 77	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) ≤ (𝑅 / 𝑁))
79	65, 78	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
81	57	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
83	53, 51, 32, 44, 54, 59, 80, 82	lemul12ad 10966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) ≤ ((𝑅 / 𝑁) · 1))
84	30, 33	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)))
85	32, 59	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘𝑡) = 𝑡)
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡))
87	84, 86	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
88	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℂ)
89	88	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑅 / 𝑁) · 1) = (𝑅 / 𝑁))
90	83, 87, 89	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
91		lgamgulm.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
92		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
94	48, 15, 93	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑁 ↔ 𝑅 ≤ (𝑁 / 2)))
95	91, 94	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (𝑁 / 2))
96		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
97		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ≠ 0
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
99	16, 96, 98	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
100	95, 99	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2)))
101	4	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
102	48, 101, 61	ledivmuld 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2) ↔ 𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2))))
103	100, 102	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
105	43, 51, 47, 90, 104	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (1 / 2))
106		halflt1 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / 2) < 1
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) < 1)
108	43, 47, 44, 105, 107	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)
109	42, 43, 44, 46, 108	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1)
110	40, 44	absltd 14168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1 ↔ (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)))
111	109, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1))
112	111	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
113	44	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 ∈ ℝ)
114	113, 40	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ↔ 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1)))
115	112, 114	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1))
116	41, 35	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
117	115, 116	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
118	34, 35	readdd 13954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)))
119		re1 13894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℜ‘1) = 1
120	119	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)
121	118, 120	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
122	117, 121	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
123	39, 122	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ⁺)
124	123	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ⁺)
125	38, 124	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ⁺)
126	125	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ⁺))
127		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
128	127	ellogdm 24385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ⁺)))
129	36, 126, 128	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
130		eqidd 2623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
131	127	logcn 24393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ))
133		cncff 22696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
135	134	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦)))
136		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦) = ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
137	129, 130, 135, 136	fmptco 6396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
138		fvres 6207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
139	129, 138	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
140	139	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
141	137, 140	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
142		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
143	129, 142	fmptd 6385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
144		difss 3737	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
145	5	addcn 22668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
147		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
148		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
149	147, 22, 24, 148	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
150	5, 146, 29, 149	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
151		cncffvrn 22701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
152	144, 150, 151	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
153	143, 152	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
154	153, 132	cncfco 22710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
155	141, 154	eqeltrrd 2702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
156	5, 7, 29, 155	cncfmpt2f 22717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
157	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
158	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℝ)
159	127	logdmn0 24386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
160	129, 159	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
161	36, 160	logcld 24317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
162	34, 161	subcld 10392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ)
163	5	tgioo2 22606	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
164		iccntr 22624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
165	55, 4, 164	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
166	157, 158, 162, 163, 5, 165	dvmptntr 23734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
167		reelprrecn 10028	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
168	167	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
169	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
170	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
171	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ≠ 0)
172	169, 170, 171	divcld 10801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
173		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
174	173	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
175	174, 33	sylan2 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
176	172, 175	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
177	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
178	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
179	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ≠ 0)
180	177, 178, 179	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
181	157	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
182	180, 181	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
183		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
184	168	dvmptid 23720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
185	168, 181, 183, 184, 18	dvmptcmul 23727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)))
186	18	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁))
187	186	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
188	185, 187	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
189	173, 158	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℝ)
190		retop 22565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
191		iooretop 22569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
192		isopn3i 20886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1))
193	190, 191, 192	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1)
194	193	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1))
195	168, 182, 180, 188, 189, 163, 5, 194	dvmptres2 23725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁)))
196	174, 161	sylan2 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
197		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
198	176, 197	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
199	174, 160	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
200	198, 199	reccld 10794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
201	200, 172	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)) ∈ ℂ)
202		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
203	202	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
204	174, 129	sylan2 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
205		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
206	205	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑦 ∈ ℂ)
207	127	logdmn0 24386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
208	207	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑦 ≠ 0)
209	206, 208	logcld 24317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
210	206, 208	reccld 10794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
211	182, 183	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
212		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
213	168, 147	dvmptc 23721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
214	168, 182, 180, 188, 183, 212, 213	dvmptadd 23723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)))
215	18	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 0) = (𝐴 / 𝑁))
216	215	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
217	214, 216	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
218	168, 211, 180, 217, 189, 163, 5, 194	dvmptres2 23725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁)))
219		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦) = (log‘𝑦))
220	219	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))
221	135, 220	syl6req 2673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
222	221	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
223	127	dvlog 24397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
224	222, 223	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
225		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (log‘𝑦) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
226		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (1 / 𝑦) = (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
227	168, 203, 204, 172, 209, 210, 218, 224, 225, 226	dvmptco 23735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
228	168, 176, 172, 195, 196, 201, 227	dvmptsub 23730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
229	166, 228	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
230	229	dmeqd 5326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
231		ovex 6678	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V
232		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
233	231, 232	dmmpti 6023	. . . . 5 ⊢ dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (0(,)1)
234	230, 233	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (0(,)1))
235		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
237	236, 48	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
238	8	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
239	48, 238	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝑅 + 𝑅))
240	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
241	240	2timesd 11275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
242	239, 241	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (2 · 𝑅))
243	48, 237, 15, 242, 91	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝑁)
244		difrp 11868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑅) ∈ ℝ⁺))
245	48, 15, 244	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑅) ∈ ℝ⁺))
246	243, 245	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℝ⁺)
247	246	rprecred 11883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℝ)
248	14	nnrecred 11066	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
249	247, 248	resubcld 10458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
250	48, 249	remulcld 10070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
251	229	fveq1d 6193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
252	251	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
253	252	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
254		nfv 1843	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1))
255		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡abs
256		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)
257	255, 256	nffv 6198	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
258		nfcv 2764	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
259		nfcv 2764	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))
260	257, 258, 259	nfbr 4699	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))
261	254, 260	nfim 1825	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
262		eleq1 2689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↔ 𝑦 ∈ (0(,)1)))
263	262	anbi2d 740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1))))
264		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
265	264	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
266	265	breq1d 4663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → ((abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
267	263, 266	imbi12d 334	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))))
268		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
269	232	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ (0(,)1) ∧ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
270	268, 231, 269	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
271	270	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
272	172, 197, 200	subdid 10486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
273	172	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁))
274	172, 200	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))
275	273, 274	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
276	272, 275	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) = ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
277	276	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
278	169, 170, 171	absdivd 14194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)))
279	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
280	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 𝑁)
281	279, 280	absidd 14161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
282	281	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
283	278, 282	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
284	283	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
285	197, 200	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ)
286	172, 285	absmuld 14193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
287	66	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
288	287	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
289	285	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℝ)
290	289	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℂ)
291	288, 290, 170, 171	div23d 10838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
292	284, 286, 291	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁))
293	271, 277, 292	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁))
294	48	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
295	247	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℝ)
296	248	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
297	295, 296	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
298	279, 297	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
299	13	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
300	299	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
301	285	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
302	77	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
303	246	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℝ⁺)
304	238	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
305	303, 304	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ⁺)
306	12	dmgmn0 24752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
307	306	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ≠ 0)
308	169, 170, 307, 171	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ≠ 0)
309		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 1))
310	309	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 1))
311	310	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑡)
312	311	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ≠ 0)
313	172, 175, 308, 312	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ≠ 0)
314	176, 313	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
315	197, 314	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℂ)
316	176, 197, 176, 313	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
317	176, 313	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = 1)
318	317	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
319	316, 318	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
320	198, 176, 199, 313	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≠ 0)
321	319, 320	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≠ 0)
322	315, 321	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ⁺)
323		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
324		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 1
325	324	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 1)
326	305	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
327	314	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
328	327	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ)
329	328, 323	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ∈ ℝ)
330	315	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ)
331	240	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℂ)
332	304	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ≠ 0)
333	170, 331, 331, 332	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)))
334	331, 332	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑅) = 1)
335	334	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)) = ((𝑁 / 𝑅) − 1))
336	333, 335	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − 1))
337	279, 304	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ∈ ℝ)
338	331, 170, 332, 171	recdivd 10818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) = (𝑁 / 𝑅))
339	174, 90	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
340	176, 313	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ⁺)
341	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
342	304, 341	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ⁺)
343	340, 342	lerecd 11891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁) ↔ (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
344	339, 343	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
345	338, 344	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
346	314	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
347	197, 176, 313	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
348		abs1 14037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (abs‘1) = 1
349	348	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
350	347, 349	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
351	346, 350	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
352	345, 351	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
353	337, 328, 323, 352	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − 1) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1))
354	336, 353	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1))
355	348	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) = ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1)
356	327, 197	abs2difd 14196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
357	355, 356	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
358	197, 314	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
359	358	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
360	314, 197	negdi2d 10406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))
361	359, 360	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))
362	361	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
363	315	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
364	362, 363	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
365	357, 364	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
366	326, 329, 330, 354, 365	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
367	305, 322, 323, 325, 366	lediv2ad 11894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅)))
368	16, 240	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℂ)
369	368	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℂ)
370	48, 243	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑅)
371	16, 240, 370	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ≠ 0)
372	371	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ≠ 0)
373	369, 331, 372, 332	recdivd 10818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅)) = (𝑅 / (𝑁 − 𝑅)))
374	170, 331	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) = 𝑅)
375	374	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) / (𝑁 − 𝑅)) = (𝑅 / (𝑁 − 𝑅)))
376	170, 369, 369, 372	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) / (𝑁 − 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅))))
377	375, 376	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / (𝑁 − 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅))))
378	369, 372	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅)) = 1)
379	378	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1))
380	373, 377, 379	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1))
381	367, 380	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1))
382	198, 197, 198, 199	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
383	176, 197	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))
384	383	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
385	198, 199	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 1)
386	385	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
387	382, 384, 386	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
388	198, 176, 199, 313	recdivd 10818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
389	319	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
390	387, 388, 389	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
391	390	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
392	197, 315, 321	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
393	348	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
394	392, 393	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
395	391, 394	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
396	368, 371	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ)
397	396	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ)
398	248	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
399	398	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
400	170, 397, 399	subdid 10486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))))
401	170, 369, 372	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) = (𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))))
402	401	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) = (𝑁 / (𝑁 − 𝑅)))
403	170, 171	recidd 10796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
404	402, 403	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1))
405	400, 404	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1))
406	381, 395, 405	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ≤ (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
407	287, 294, 289, 298, 300, 301, 302, 406	lemul12ad 10966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
408	249	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
409	408	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
410	331, 170, 409	mul12d 10245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) = (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
411	407, 410	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
412	287, 289	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ∈ ℝ)
413	250	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
414	412, 413, 341	ledivmuld 11925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))))
415	411, 414	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
416	293, 415	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
417	261, 267, 416	chvar 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
418	253, 417	eqbrtrd 4675	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
419	3, 4, 156, 234, 250, 418	dvlip 23756	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
420	1, 2, 419	mpanr12 721	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
421		eqidd 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
422		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 1 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 1))
423	422, 186	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = (𝐴 / 𝑁))
424	423	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = ((𝐴 / 𝑁) + 1))
425	424	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))
426	423, 425	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
427	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
428		ovexd 6680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ V)
429	421, 426, 427, 428	fvmptd 6288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
430		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 0))
431	18	mul01d 10235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 0) = 0)
432	430, 431	sylan9eqr 2678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = 0)
433	432	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = (0 + 1))
434		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
435	433, 434	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = 1)
436	435	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘1))
437		log1 24332	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘1) = 0
438	436, 437	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 0)
439	432, 438	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (0 − 0))
440		0m0e0 11130	. . . . . . 7 ⊢ (0 − 0) = 0
441	439, 440	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = 0)
442	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
443	421, 441, 442, 442	fvmptd 6288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0) = 0)
444	429, 443	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)) = (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0))
445	18, 147	addcld 10059	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
446	12, 14	dmgmdivn0 24754	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ≠ 0)
447	445, 446	logcld 24317	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
448	18, 447	subcld 10392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
449	448	subid1d 10381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
450	444, 449	eqtr2d 2657	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) = (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)))
451	450	fveq2d 6195	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) = (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))))
452		1m0e1 11131	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
453	452	fveq2i 6194	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1)
454	453, 348	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (abs‘(1 − 0)) = 1
455	454	oveq2i 6661	. . 3 ⊢ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1)
456	240, 408	mulcld 10060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℂ)
457	456	mulid1d 10057	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1) = (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
458	455, 457	syl5req 2669	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
459	420, 451, 458	3brtr4d 4685	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 {crab 2916 Vcvv 3200 ∖ cdif 3571 ⊆ wss 3574 {cpr 4179 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 dom cdm 5114 ran crn 5115 ↾ cres 5116 ∘ ccom 5118 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 -∞cmnf 10072 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 -cneg 10267 / cdiv 10684 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℝ⁺crp 11832 (,)cioo 12175 (,]cioc 12176 [,]cicc 12178 ℜcre 13837 abscabs 13974 TopOpenctopn 16082 topGenctg 16098 ℂ_fldccnfld 19746 Topctop 20698 intcnt 20821 Cn ccn 21028 ×_t ctx 21363 –cn→ccncf 22679 D cdv 23627 logclog 24301

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303

This theorem is referenced by: lgamgulmlem3 24757

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