Theorem dvnadd 23692

Description: The 𝑁-th derivative of the 𝑀-th derivative of 𝐹 is the same as the 𝑀 + 𝑁-th derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnadd	⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvnadd

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0))
2		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 0))
3	2	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))
4	1, 3	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0))))
5	4	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))))
6		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘))
7		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 𝑘))
8	7	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))
9	6, 8	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
10	9	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))))
11		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)))
12		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
13	12	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))
14	11, 13	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1)))))
15	14	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
16		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁))
17		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 𝑁))
18	17	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))
19	16, 18	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
20	19	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))))
21		recnprss 23668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
22	21	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
23		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ℂ ⊆ ℂ)
25		cnex 10017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
26		elpm2g 7874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
27	25, 26	mpan 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
28	27	simplbda 654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
29	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ℂ ∈ V)
30		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
31		pmss12g 7884	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
32	24, 28, 29, 30, 31	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
34		dvnff 23686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))
35	34	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
36	33, 35	sseldd 3604	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
37		dvn0 23687	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
38	22, 36, 37	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
39		nn0cn 11302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
40	39	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
41	40	addid1d 10236	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
42	41	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
43	38, 42	eqtr4d 2659	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))
44		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
45	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
46	36	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
47		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
48		dvnp1 23688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)))
49	45, 46, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)))
50	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
51		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
53		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	addassd 10062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))
56		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
57		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
58	57	adantll 750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
59		dvnp1 23688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
60	45, 56, 58, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
61	55, 60	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
62	49, 61	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))) ↔ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))))
63	44, 62	syl5ibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1)))))
64	63	expcom 451	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
65	64	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
66	5, 10, 15, 20, 43, 65	nn0ind 11472	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
67	66	com12 32	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
68	67	impr 649	1 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {cpr 4179  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_pm cpm 7858  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  ℕ₀cn0 11292   D cdv 23627   D^𝑛 cdvn 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632

This theorem is referenced by:  dvn2bss  23693  dvtaylp  24124  dvntaylp  24125  dvntaylp0  24126