Theorem dvntaylp 24125

Description: The 𝑀-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the 𝑀-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvntaylp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvntaylp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvntaylp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvntaylp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
dvntaylp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvntaylp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
dvntaylp	⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))

Proof of Theorem dvntaylp

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvntaylp.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 11722	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	syl6eleq 2711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4		eluzfz2b 12350	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
5	3, 4	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
6		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0))
7		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 0))
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 0)))
11		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → 𝐵 = 𝐵)
12	8, 10, 11	oveq123d 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))
13	6, 12	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵)))
14	13	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))))
15		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛))
16		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
18		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 𝑛))
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
20		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝐵 = 𝐵)
21	17, 19, 20	oveq123d 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))
22	15, 21	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
23	22	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))))
24		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)))
25		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
27		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − (𝑛 + 1)))
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))))
29		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → 𝐵 = 𝐵)
30	26, 28, 29	oveq123d 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))
31	24, 30	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵)))
32	31	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
33		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀))
34		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)))
36		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 𝑀))
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)))
38		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝐵 = 𝐵)
39	35, 37, 38	oveq123d 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
40	33, 39	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)))
41	40	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))))
42		ssid 3624	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
44		mapsspm 7891	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ↑𝑚 ℂ) ⊆ (ℂ ↑pm ℂ)
45		dvntaylp.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
46		dvntaylp.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
47		dvntaylp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
48		dvntaylp.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
49	48, 1	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
50		dvntaylp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
51		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
52	45, 46, 47, 49, 50, 51	taylpf 24120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵):ℂ⟶ℂ)
53		cnex 10017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
54	53, 53	elmap 7886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℂ) ↔ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵):ℂ⟶ℂ)
55	52, 54	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℂ))
56	44, 55	sseldi 3601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
57		dvn0 23687	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
58	43, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
59		recnprss 23668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
60	45, 59	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
61	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
62		elpm2r 7875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
63	61, 45, 46, 47, 62	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
64		dvn0 23687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
65	60, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
66	65	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)) = (𝑆 Tayl 𝐹))
67	1	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
68	67	subid1d 10381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 0) = 𝑀)
69	68	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 0)) = (𝑁 + 𝑀))
70		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
71	66, 69, 70	oveq123d 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
72	58, 71	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵)))
74		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
75	42	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
76	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
77		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
79	78, 2	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
80		dvnp1 23688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)))
81	75, 76, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)))
82	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
83	63	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
84		dvnf 23690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℂ)
85	82, 83, 79, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℂ)
86		dvnbss 23691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
87	82, 83, 79, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
88		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
89	46, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐴)
91	87, 90	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝐴)
92	47	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
93	91, 92	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝑆)
94	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
95		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
97		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
99	94, 98	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) ∈ ℕ0)
100	50	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
101		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → 𝑛 ∈ (0...𝑀))
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ (0...𝑀))
103		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑀) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℕ0)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℕ0)
105	94, 104	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)) ∈ ℕ0)
106		dvnadd 23692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
107	82, 83, 79, 105, 106	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
108	48	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
110	98	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
111		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
112	109, 110, 111	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1)))
113	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
114	79	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
115	113, 114, 111	nppcan2d 10418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1) = (𝑀 − 𝑛))
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
117	112, 116	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
118	117	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
119	114, 113	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑛 + (𝑀 − 𝑛)) = 𝑀)
120	119	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 − 𝑛))) = (𝑁 + 𝑀))
121	113, 114	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℂ)
122	109, 114, 121	add12d 10262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 − 𝑛))) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
123	120, 122	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
124	123	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
125	107, 118, 124	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
126	125	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
127	100, 126	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)))
128	82, 85, 93, 99, 127	dvtaylp 24124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (ℂ D (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))𝐵))
129	117	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (ℂ D (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
131	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
132		dvnp1 23688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
133	131, 83, 79, 132	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))) = (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))))
135	134	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
136	135	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))
137	128, 130, 136	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
138	81, 137	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵) ↔ (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))))
139	74, 138	syl5ibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵)))
140	139	expcom 451	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
141	140	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
142	14, 23, 32, 41, 73, 141	fzind2 12586	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑀) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)))
143	5, 142	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
144	67	subidd 10380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑀) = 0)
145	144	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)) = (𝑁 + 0))
146	108	addid1d 10236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
147	145, 146	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)) = 𝑁)
148	147	oveq1d 6665	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
149	143, 148	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {cpr 4179  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857   ↑_pm cpm 7858  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   D cdv 23627   D^𝑛 cdvn 23628   Tayl ctayl 24107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632  df-tayl 24109

This theorem is referenced by:  dvntaylp0  24126  taylthlem1  24127