Theorem dvreslem 23673

Description: Lemma for dvres 23675. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvres.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
dvres.t	|- T = ( K ↾t S )
dvres.g	|- G = ( z e. ( A \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
dvres.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvres.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
dvres.a	|- ( ph -> A C_ S )
dvres.b	|- ( ph -> B C_ S )
dvres.y	|- ( ph -> y e. CC )

Assertion

Ref	Expression
dvreslem	|- ( ph -> ( x ( S _D ( F |` B ) ) y <-> ( x ( S _D F ) y /\ x e. ( ( int ` T ) ` B ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, F, y, z   x, S, y, z   x, T, y, z   z, K   ph, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   G( x, y, z)   K( x, y)

Proof of Theorem dvreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A i^i B ) \ { x } ) C_ ( A i^i B )
2		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A i^i B ) C_ B
3	1, 2	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A i^i B ) \ { x } ) C_ B
4		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) /\ z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) -> z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) )
5	3, 4	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) /\ z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) -> z e. B )
6		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. B -> ( ( F |` B ) ` z ) = ( F ` z ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) /\ z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) -> ( ( F |` B ) ` z ) = ( F ` z ) )
8		dvres.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- T = ( K ↾t S )
9		dvres.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
10	9	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- K e. Top
11		dvres.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S C_ CC )
12		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC e. _V
13		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
14	11, 12, 13	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> S e. _V )
15		resttop 20964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. Top /\ S e. _V ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
16	10, 14, 15	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( K ↾t S ) e. Top )
17	8, 16	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> T e. Top )
18		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A i^i B ) C_ A
19		dvres.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A C_ S )
20	18, 19	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A i^i B ) C_ S )
21	9	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- K e. (TopOn ` CC )
22		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
23	21, 11, 22	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
24	8, 23	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> T e. (TopOn ` S ) )
25		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( T e. (TopOn ` S ) -> S = U. T )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> S = U. T )
27	20, 26	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A i^i B ) C_ U. T )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. T = U. T
29	28	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T e. Top /\ ( A i^i B ) C_ U. T ) -> ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) C_ ( A i^i B ) )
30	17, 27, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) C_ ( A i^i B ) )
31	30, 2	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) C_ B )
32	31	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> x e. B )
33		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. B -> ( ( F |` B ) ` x ) = ( F ` x ) )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` B ) ` x ) = ( F ` x ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) /\ z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) -> ( ( F |` B ) ` x ) = ( F ` x ) )
36	7, 35	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) /\ z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) -> ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) )
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) /\ z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) -> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
38	37	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) )
39		dvres.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( z e. ( A \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
40	39	reseq1i 5392	. . . . . . . . . 10 |- ( G |` ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) = ( ( z e. ( A \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) |` ( ( A i^i B ) \ { x } ) )
41		ssdif 3745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i B ) C_ A -> ( ( A i^i B ) \ { x } ) C_ ( A \ { x } ) )
42		resmpt 5449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A i^i B ) \ { x } ) C_ ( A \ { x } ) -> ( ( z e. ( A \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) |` ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) = ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) )
43	18, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) |` ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) = ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
44	40, 43	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( G |` ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) = ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
45	38, 44	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( G |` ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) )
46	45	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) = ( ( G |` ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) lim CC x ) )
47		dvres.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> CC )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> F : A --> CC )
49	19, 11	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ CC )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> A C_ CC )
51	30, 18	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) C_ A )
52	51	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> x e. A )
53	48, 50, 52	dvlem 23660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) /\ z e. ( A \ { x } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) e. CC )
54	53, 39	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> G : ( A \ { x } ) --> CC )
55	18, 41	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( A i^i B ) \ { x } ) C_ ( A \ { x } ) )
56		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( A \ { x } ) C_ A
57	56, 50	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( A \ { x } ) C_ CC )
58		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( K ↾t ( ( A \ { x } ) u. { x } ) ) = ( K ↾t ( ( A \ { x } ) u. { x } ) )
59		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( U. T \ A ) C_ U. T )
60	27, 59	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A i^i B ) u. ( U. T \ A ) ) C_ U. T )
61		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A i^i B ) C_ ( ( A i^i B ) u. ( U. T \ A ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A i^i B ) C_ ( ( A i^i B ) u. ( U. T \ A ) ) )
63	28	ntrss 20859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. Top /\ ( ( A i^i B ) u. ( U. T \ A ) ) C_ U. T /\ ( A i^i B ) C_ ( ( A i^i B ) u. ( U. T \ A ) ) ) -> ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) C_ ( ( int ` T ) ` ( ( A i^i B ) u. ( U. T \ A ) ) ) )
64	17, 60, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) C_ ( ( int ` T ) ` ( ( A i^i B ) u. ( U. T \ A ) ) ) )
65	64, 51	ssind 3837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) C_ ( ( ( int ` T ) ` ( ( A i^i B ) u. ( U. T \ A ) ) ) i^i A ) )
66	19, 26	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ U. T )
67	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A i^i B ) C_ A )
68		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T ↾t A ) = ( T ↾t A )
69	28, 68	restntr 20986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. Top /\ A C_ U. T /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> ( ( int ` ( T ↾t A ) ) ` ( A i^i B ) ) = ( ( ( int ` T ) ` ( ( A i^i B ) u. ( U. T \ A ) ) ) i^i A ) )
70	17, 66, 67, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( int ` ( T ↾t A ) ) ` ( A i^i B ) ) = ( ( ( int ` T ) ` ( ( A i^i B ) u. ( U. T \ A ) ) ) i^i A ) )
71	8	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T ↾t A ) = ( ( K ↾t S ) ↾t A )
72	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. Top )
73		restabs 20969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Top /\ A C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t A ) = ( K ↾t A ) )
74	72, 19, 14, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( K ↾t S ) ↾t A ) = ( K ↾t A ) )
75	71, 74	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T ↾t A ) = ( K ↾t A ) )
76	75	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( int ` ( T ↾t A ) ) = ( int ` ( K ↾t A ) ) )
77	76	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( int ` ( T ↾t A ) ) ` ( A i^i B ) ) = ( ( int ` ( K ↾t A ) ) ` ( A i^i B ) ) )
78	70, 77	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( int ` T ) ` ( ( A i^i B ) u. ( U. T \ A ) ) ) i^i A ) = ( ( int ` ( K ↾t A ) ) ` ( A i^i B ) ) )
79	65, 78	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) C_ ( ( int ` ( K ↾t A ) ) ` ( A i^i B ) ) )
80	79	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> x e. ( ( int ` ( K ↾t A ) ) ` ( A i^i B ) ) )
81		undif1 4043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A \ { x } ) u. { x } ) = ( A u. { x } )
82	30	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> x e. ( A i^i B ) )
83	82	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> { x } C_ ( A i^i B ) )
84	83, 18	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> { x } C_ A )
85		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x } C_ A <-> ( A u. { x } ) = A )
86	84, 85	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( A u. { x } ) = A )
87	81, 86	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( A \ { x } ) u. { x } ) = A )
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( K ↾t ( ( A \ { x } ) u. { x } ) ) = ( K ↾t A ) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( int ` ( K ↾t ( ( A \ { x } ) u. { x } ) ) ) = ( int ` ( K ↾t A ) ) )
90		undif1 4043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A i^i B ) \ { x } ) u. { x } ) = ( ( A i^i B ) u. { x } )
91		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x } C_ ( A i^i B ) <-> ( ( A i^i B ) u. { x } ) = ( A i^i B ) )
92	83, 91	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( A i^i B ) u. { x } ) = ( A i^i B ) )
93	90, 92	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( A i^i B ) \ { x } ) u. { x } ) = ( A i^i B ) )
94	89, 93	fveq12d 6197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t ( ( A \ { x } ) u. { x } ) ) ) ` ( ( ( A i^i B ) \ { x } ) u. { x } ) ) = ( ( int ` ( K ↾t A ) ) ` ( A i^i B ) ) )
95	80, 94	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> x e. ( ( int ` ( K ↾t ( ( A \ { x } ) u. { x } ) ) ) ` ( ( ( A i^i B ) \ { x } ) u. { x } ) ) )
96	54, 55, 57, 9, 58, 95	limcres 23650	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( G |` ( ( A i^i B ) \ { x } ) ) lim CC x ) = ( G lim CC x ) )
97	46, 96	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) = ( G lim CC x ) )
98	97	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) ) -> ( y e. ( ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) <-> y e. ( G lim CC x ) ) )
99	98	pm5.32da 673	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) /\ y e. ( ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) /\ y e. ( G lim CC x ) ) ) )
100		dvres.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ S )
101	100, 26	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ U. T )
102	28	ntrin 20865	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. Top /\ A C_ U. T /\ B C_ U. T ) -> ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) = ( ( ( int ` T ) ` A ) i^i ( ( int ` T ) ` B ) ) )
103	17, 66, 101, 102	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) = ( ( ( int ` T ) ` A ) i^i ( ( int ` T ) ` B ) ) )
104	103	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) <-> x e. ( ( ( int ` T ) ` A ) i^i ( ( int ` T ) ` B ) ) ) )
105		elin 3796	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( ( int ` T ) ` A ) i^i ( ( int ` T ) ` B ) ) <-> ( x e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ x e. ( ( int ` T ) ` B ) ) )
106	104, 105	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( x e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ x e. ( ( int ` T ) ` B ) ) ) )
107	106	anbi1d 741	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) /\ y e. ( G lim CC x ) ) <-> ( ( x e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ x e. ( ( int ` T ) ` B ) ) /\ y e. ( G lim CC x ) ) ) )
108	99, 107	bitrd 268	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) /\ y e. ( ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( ( x e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ x e. ( ( int ` T ) ` B ) ) /\ y e. ( G lim CC x ) ) ) )
109		an32 839	. . 3 |- ( ( ( x e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ x e. ( ( int ` T ) ` B ) ) /\ y e. ( G lim CC x ) ) <-> ( ( x e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ y e. ( G lim CC x ) ) /\ x e. ( ( int ` T ) ` B ) ) )
110	108, 109	syl6bb 276	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) /\ y e. ( ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( ( x e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ y e. ( G lim CC x ) ) /\ x e. ( ( int ` T ) ` B ) ) ) )
111		eqid 2622	. . 3 |- ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) )
112		fresin 6073	. . . 4 |- ( F : A --> CC -> ( F |` B ) : ( A i^i B ) --> CC )
113	47, 112	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F |` B ) : ( A i^i B ) --> CC )
114	8, 9, 111, 11, 113, 20	eldv 23662	. 2 |- ( ph -> ( x ( S _D ( F |` B ) ) y <-> ( x e. ( ( int ` T ) ` ( A i^i B ) ) /\ y e. ( ( z e. ( ( A i^i B ) \ { x } ) |-> ( ( ( ( F |` B ) ` z ) - ( ( F |` B ) ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
115	8, 9, 39, 11, 47, 19	eldv 23662	. . 3 |- ( ph -> ( x ( S _D F ) y <-> ( x e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ y e. ( G lim CC x ) ) ) )
116	115	anbi1d 741	. 2 |- ( ph -> ( ( x ( S _D F ) y /\ x e. ( ( int ` T ) ` B ) ) <-> ( ( x e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ y e. ( G lim CC x ) ) /\ x e. ( ( int ` T ) ` B ) ) ) )
117	110, 114, 116	3bitr4d 300	1 |- ( ph -> ( x ( S _D ( F |` B ) ) y <-> ( x ( S _D F ) y /\ x e. ( ( int ` T ) ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   - cmin 10266   / cdiv 10684   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvres  23675