Theorem ebtwntg 25862

Description: The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ebtwntg.1	|- ( ph -> N e. NN )
ebtwntg.2	|- P = ( Base ` (EEG ` N ) )
ebtwntg.3	|- I = (Itv ` (EEG ` N ) )
ebtwntg.x	|- ( ph -> X e. P )
ebtwntg.y	|- ( ph -> Y e. P )
ebtwntg.z	|- ( ph -> Z e. P )

Assertion

Ref	Expression
ebtwntg	|- ( ph -> ( Z Btwn <. X , Y >. <-> Z e. ( X I Y ) ) )

Proof of Theorem ebtwntg

Dummy variables x i y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvid 25341	. . . . . 6 |- Itv = Slot (Itv ` ndx )
2		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ph -> (EEG ` N ) e. _V )
3		ebtwntg.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
4		eengstr 25860	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> (EEG ` N ) Struct <. 1 , ; 1 7 >. )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (EEG ` N ) Struct <. 1 , ; 1 7 >. )
6		isstruct 15870	. . . . . . . . 9 |- ( (EEG ` N ) Struct <. 1 , ; 1 7 >. <-> ( ( 1 e. NN /\ ; 1 7 e. NN /\ 1 <_ ; 1 7 ) /\ Fun ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) /\ dom (EEG ` N ) C_ ( 1 ...; 1 7 ) ) )
7	6	simp2bi 1077	. . . . . . . 8 |- ( (EEG ` N ) Struct <. 1 , ; 1 7 >. -> Fun ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) )
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) )
9		structcnvcnv 15871	. . . . . . . . 9 |- ( (EEG ` N ) Struct <. 1 , ; 1 7 >. -> `' `' (EEG ` N ) = ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) )
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' `' (EEG ` N ) = ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) )
11	10	funeqd 5910	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Fun `' `' (EEG ` N ) <-> Fun ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) ) )
12	8, 11	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> Fun `' `' (EEG ` N ) )
13		opex 4932	. . . . . . . . 9 |- <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. e. _V
14	13	prid1 4297	. . . . . . . 8 |- <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. e. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. }
15		elun2 3781	. . . . . . . 8 |- ( <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. e. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } -> <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( EE ` N ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( x ` i ) - ( y ` i ) ) ^ 2 ) ) >. } u. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( EE ` N ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( x ` i ) - ( y ` i ) ) ^ 2 ) ) >. } u. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } )
17		eengv 25859	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> (EEG ` N ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , ( EE ` N ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( x ` i ) - ( y ` i ) ) ^ 2 ) ) >. } u. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } ) )
18	3, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> (EEG ` N ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , ( EE ` N ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( x ` i ) - ( y ` i ) ) ^ 2 ) ) >. } u. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } ) )
19	16, 18	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- ( ph -> <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. e. (EEG ` N ) )
20		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( EE ` N ) e. _V
21	20, 20	mpt2ex 7247	. . . . . . 7 |- ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) e. _V
22	21	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) e. _V )
23	1, 2, 12, 19, 22	strfv2d 15905	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) = (Itv ` (EEG ` N ) ) )
24		ebtwntg.3	. . . . 5 |- I = (Itv ` (EEG ` N ) )
25	23, 24	syl6reqr 2675	. . . 4 |- ( ph -> I = ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) )
26		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> x = X )
27		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> y = Y )
28	26, 27	opeq12d 4410	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> <. x , y >. = <. X , Y >. )
29	28	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( z Btwn <. x , y >. <-> z Btwn <. X , Y >. ) )
30	29	rabbidv 3189	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } = { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. X , Y >. } )
31		ebtwntg.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. P )
32		ebtwntg.2	. . . . . 6 |- P = ( Base ` (EEG ` N ) )
33	31, 32	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
34		eengbas 25861	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( EE ` N ) = ( Base ` (EEG ` N ) ) )
35	3, 34	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( EE ` N ) = ( Base ` (EEG ` N ) ) )
36	33, 35	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( EE ` N ) )
37		ebtwntg.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. P )
38	37, 32	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
39	38, 35	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( EE ` N ) )
40	20	rabex 4813	. . . . 5 |- { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. X , Y >. } e. _V
41	40	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. X , Y >. } e. _V )
42	25, 30, 36, 39, 41	ovmpt2d 6788	. . 3 |- ( ph -> ( X I Y ) = { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. X , Y >. } )
43	42	eleq2d 2687	. 2 |- ( ph -> ( Z e. ( X I Y ) <-> Z e. { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. X , Y >. } ) )
44		ebtwntg.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. P )
45	44, 32	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ph -> Z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
46	45, 35	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ph -> Z e. ( EE ` N ) )
47		breq1 4656	. . . 4 |- ( z = Z -> ( z Btwn <. X , Y >. <-> Z Btwn <. X , Y >. ) )
48	47	elrab3 3364	. . 3 |- ( Z e. ( EE ` N ) -> ( Z e. { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. X , Y >. } <-> Z Btwn <. X , Y >. ) )
49	46, 48	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( Z e. { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. X , Y >. } <-> Z Btwn <. X , Y >. ) )
50	43, 49	bitr2d 269	1 |- ( ph -> ( Z Btwn <. X , Y >. <-> Z e. ( X I Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1c1 9937   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   7c7 11075  ;cdc 11493   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   Struct cstr 15853   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   distcds 15950  Itvcitv 25335  LineGclng 25336   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769  EEGceeng 25857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-ds 15964  df-itv 25337  df-lng 25338  df-eeng 25858

This theorem is referenced by:  elntg  25864  eengtrkg  25865  eengtrkge  25866